Введение

В теории множеств, отрасли математики, сильно компактный кардинал — это определённый вид большого кардинала. Кардинал κ является сильно компактным тогда и только тогда, когда каждый κ-полный фильтр может быть расширен до κ-полного ультрафильтра. Сильно компактные кардиналы первоначально были определены в терминах бесконечной логики, где логическим операторам разрешается принимать бесконечно много операндов. Логика на регулярном кардинале κ определяется требованием, чтобы число операндов для каждого оператора было меньше κ; тогда κ является сильно компактным, если его логика удовлетворяет аналогу свойства компактности конечноточной логики. В частности, утверждение, вытекающее из некоторого множества утверждений, должно также вытекать из некоторого подмножества кардинальности меньше κ. Свойство сильной компактности можно ослабить, требуя, чтобы это свойство компактности выполнялось только тогда, когда исходное множество утверждений имеет кардинальность меньше некоторого кардинала λ; в этом случае мы можем говорить о λ-компактности. Кардинал слабо компактен тогда и только тогда, когда он κ-компактен; это было исходное определение этого понятия. Сильная компактность влечёт измеримость и влечёт за собой суперкомпактность. При условии существования соответствующих кардиналов, с ZFC непротиворечиво, что первый измеримый кардинал является сильно компактным, или что первый сильно компактный кардинал является суперкомпактным; однако, оба эти утверждения одновременно истинными быть не могут. Измеримый предел сильно компактных кардиналов является сильно компактным, но наименьший такой предел не является суперкомпактным. Сила консистентности сильной компактности строго выше, чем у кардиналов Вуддина. Некоторые теоретики множеств предполагают, что существование сильно компактного кардинала эквиконсистентно существованию суперкомпактного кардинала. Однако доказательство маловероятно до тех пор, пока не будет разработана каноническая теория внутренних моделей для суперкомпактных кардиналов. Джех получил вариант свойства дерева, который выполняется для недоступного кардинала тогда и только тогда, когда он сильно компактен. Расширяемость — это аналог сильной компактности второго порядка.