Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада метабелийлік топ – коммутаторлық кіші тобы абелийлік болатын топ. Басқаша айтқанда, G тобы метабелийлік болады, егер және тек қана абелийлік нормальды A кіші тобы болса, онда G/A бөлу тобы абелийлік болады. Метабелийлік топтардың кіші топтары да метабелийлік, сондай-ақ метабелийлік топтардың гомоморфизмдер арқылы алынған бейнелері де метабелийлік болады. Метабелийлік топтар шешіледі. Шындығында, олар – турастырылған ұзындығы ең көп 2-ге тең болатын топтар.
In mathematics, a metabelian group is a group whose commutator subgroup is abelian. Equivalently, a group G is metabelian if and only if there is an abelian normal subgroup A such that the quotient group G/A is abelian. Subgroups of metabelian groups are metabelian, as are images of metabelian groups over group homomorphisms. Metabelian groups are solvable. In fact, they are precisely the solvable groups of derived length at most 2.
Мысалдар
Кез келген диэдрлік топ метабелийлік, себебі оның индексі 2-ге тең циклдік нормальды кіші тобы бар. Жалпы алғанда, кез келген жалпыланған диэдрлік топ метабелийлік, себебі оның индексі 2-ге тең абелийлік нормальды кіші тобы бар. Егер F өріс болса, онда F-ке әсер ететін аффиндік түрлендірулер тобы (мұнда a ≠ 0) метабелийлік болып табылады. Мұнда абелийлік нормальды кіші топ таза трансляциялар тобы болып табылады, ал абелийлік үлестік топ гомотетиялар тобына изоморфты. Егер F - q элементі бар шекті өріс болса, бұл метабелийлік топ q(q − 1) ретімен болады. Евклид жазықтығының тікелей изометриялар тобы метабелийлік. Бұл жоғарыдағы мысалға ұқсас, себебі элементтер қайтадан аффиндік түрлендірулер болып табылады. Жазықтықтағы трансляциялар топтың абелийлік нормальды кіші тобын құрайды, ал сәйкес үлестік топ шеңбер тобы болып табылады. p³ реттік H₃,p шекті Гейзенберг тобы метабелийлік. Бұл коммутативтік сақинадағы жазулары бар жоғарғы үшбұрышты 3 × 3 матрицалар тобы сияқты, сақинада анықталған кез келген Гейзенберг тобы үшін де дұрыс. 3-ші сыныпқа немесе одан төменгі барлық нильпотенттік топтар метабелийлік. «Лампашы» тобы метабелийлік. p⁵ реттік барлық топтар метабелийлік (төмен p үшін). 24-тен төмен реттік барлық топтар метабелийлік. Осы соңғы мысалдан айырмашылығы, 24 реттік S₄ симметриялық тобы метабелийлік емес, себебі оның коммутаторлық кіші тобы – абелийлік емес алмастыру тобы A₄.
Any dihedral group is metabelian, as it has a cyclic normal subgroup of index 2. More generally, any generalized dihedral group is metabelian, as it has an abelian normal subgroup of index 2. If F is a field, the group of affine maps (where a ≠ 0) acting on F is metabelian. Here the abelian normal subgroup is the group of pure translations , and the abelian quotient group is isomorphic to the group of homotheties If F is a finite field with q elements, this metabelian group is of order q(q − 1). The group of direct isometries of the Euclidean plane is metabelian. This is similar to the above example, as the elements are again affine maps. The translations of the plane form an abelian normal subgroup of the group, and the corresponding quotient is the circle group. The finite Heisenberg group H3,p of order p3 is metabelian. The same is true for any Heisenberg group defined over a ring (group of upper triangular 3 × 3 matrices with entries in a commutative ring). All nilpotent groups of class 3 or less are metabelian. The lamplighter group is metabelian. All groups of order p5 are metabelian (for prime p). All groups of order less than 24 are metabelian. In contrast to this last example, the symmetric group S4 of order 24 is not metabelian, as its commutator subgroup is the non abelian alternating group A4.