Введение

В математике метабелева группа — это группа, чья коммутаторная подгруппа является абелевой. Эквивалентно, группа G является метабелевой тогда и только тогда, когда существует абелева нормальная подгруппа A такая, что факторгруппа G/A является абелевой. Подгруппы метабелевых групп метабелевы, как и образы метабелевых групп при групповых гомоморфизмах. Метабелевы группы разрешимы. Фактически, они являются точно разрешимыми группами производной длины, не превосходящей 2.

Примеры

Любая диэдральная группа является метабелианской, поскольку она имеет циклическую нормальную подгруппу индекса 2. В более общем случае, любая обобщенная диэдральная группа является метабелианской, поскольку она имеет абелеву нормальную подгруппу индекса 2. Если F — поле, то группа аффинных преобразований (где a ≠ 0), действующих на F, является метабелианской. Здесь абелева нормальная подгруппа — это группа чистых сдвигов, а абелева фактор-группа изоморфна группе гомотетий. Если F — конечное поле с q элементами, то порядок этой метабелианской группы равен q(q − 1). Группа прямых изометрий евклидовой плоскости является метабелианской. Это аналогично приведенному выше примеру, поскольку элементы снова являются аффинными преобразованиями. Сдвиги плоскости образуют абелеву нормальную подгруппу группы, а соответствующая фактор-группа — это окружность. Конечная группа Гейзенберга H3,p порядка p³ является метабелианской. То же самое верно для любой группы Гейзенберга, определенной над кольцом (группа верхнетреугольных матриц 3 × 3 с элементами из коммутативного кольца). Все нильпотентные группы класса 3 или меньше являются метабелианскими. Группа лампочников является метабелианской. Все группы порядка p⁵ являются метабелианскими (для простого числа p). Все группы порядка меньше 24 являются метабелианскими. В отличие от последнего примера, симметрическая группа S4 порядка 24 не является метабелианской, поскольку ее коммутаторная подгруппа — неабелева чередующаяся группа A4.