Кіріспе
Цифрлық сигналдарды өңдеуге арналған адаптивті сүзгі алгоритмі. Рекурсивті ең кіші квадраттар (RLS) – кіріс сигналдарымен байланысты салмақталған сызықтық ең кіші квадраттар құнының функциясын азайтатын коэффициенттерді рекурсивті түрде іздейтін адаптивті сүзгі алгоритмі. Бұл тәсіл орташа квадраттық қателікті азайтуға ұмтылатын ең кіші орташа квадраттар (LMS) сияқты басқа алгоритмдерден өзгеше. RLS алгоритмін туындыту кезінде кіріс сигналдары детерминистік деп есептеледі, ал LMS және оған ұқсас алгоритмдер үшін олар стохастикалық деп есептеледі. Көптеген бәсекелестерімен салыстырғанда, RLS өте жылдам конвергенцияға ие. Дегенмен, бұл артықшылық жоғары есептеу күрделілігімен байланысты.
Recursive least squares (RLS) is an adaptive filter algorithm that recursively finds the coefficients that minimize a weighted linear least squares cost function relating to the input signals. This approach is in contrast to other algorithms such as the least mean squares (LMS) that aim to reduce the mean square error. In the derivation of the RLS, the input signals are considered deterministic, while for the LMS and similar algorithms they are considered stochastic. Compared to most of its competitors, the RLS exhibits extremely fast convergence. However, this benefit comes at the cost of high computational complexity.
Мотивация
RLS Гаусс ашқан, бірақ 1950 жылға дейін пайдаланылмаған немесе ескерілмеген, ол кезде Плэкет Гаусстің 1821 жылғы түпнұсқа жұмысын қайтадан ашқан. Жалпы алғанда, RLS адаптивті сүзгілермен шешілетін кез келген мәселені шешу үшін қолданылуы мүмкін. Мысалы, сигнал эхолы, шулы канал арқылы жіберіледі деп есептейік, бұл оны былай қабылдауға әкеледі:
where represents additive noise. The intent of the RLS filter is to recover the desired signal by use of a tap FIR filter, :
where is the column vector containing the most recent samples of The estimate of the recovered desired signal is
The goal is to estimate the parameters of the filter , and at each time we refer to the current estimate as and the adapted least squares estimate by is also a column vector, as shown below, and the transpose, , is a row vector. The matrix product (which is the dot product of and ) is , a scalar. The estimate is "good" if is small in magnitude in some least squares sense. As time evolves, it is desired to avoid completely redoing the least squares algorithm to find the new estimate for , in terms of
The benefit of the RLS algorithm is that there is no need to invert matrices, thereby saving computational cost. Another advantage is that it provides intuition behind such results as the Kalman filter.
мұнда – қосылған шуды білдіреді. RLS сүзгісінің мақсаты – FIR сүзгісін пайдалану арқылы қажетті сигналды қалпына келтіру:
where represents additive noise. The intent of the RLS filter is to recover the desired signal by use of a tap FIR filter, :
where is the column vector containing the most recent samples of The estimate of the recovered desired signal is
The goal is to estimate the parameters of the filter , and at each time we refer to the current estimate as and the adapted least squares estimate by is also a column vector, as shown below, and the transpose, , is a row vector. The matrix product (which is the dot product of and ) is , a scalar. The estimate is "good" if is small in magnitude in some least squares sense. As time evolves, it is desired to avoid completely redoing the least squares algorithm to find the new estimate for , in terms of
The benefit of the RLS algorithm is that there is no need to invert matrices, thereby saving computational cost. Another advantage is that it provides intuition behind such results as the Kalman filter.
мұнда – қалпына келтірілген қажетті сигналдың бағасы, ал – сигналдың соңғы үлгілерін қамтитын баған векторлары. Сүзгі параметрлерін бағалау – мақсат. Әр уақыт мезгілінде ағымдағы бағалауды және бейімделген ең кіші квадраттар бағалауын анықтаймыз. Матрица көбейтіндісі ( – және векторларының скалярлық көбейтіндісі) – скаляр шама. Егер шаманың абсолюттік мәні ең кіші квадраттар мағынасында аз болса, онда бағалау «жақсы» деп есептеледі. Уақыт өте келе, жаңа бағалауды табу үшін ең кіші квадраттар алгоритмін толығымен қайта жасаудан аулақ болу қажет. RLS алгоритмінің артықшылығы – матрицаларды инверсиялау қажеттілігінің жоқтығы, бұл есептеу шығындарын үнемдеуге мүмкіндік береді. Тағы бір артықшылығы – ол Калман сүзгісі сияқты нәтижелердің түсінігін қалыптастыруға көмектеседі.
where represents additive noise. The intent of the RLS filter is to recover the desired signal by use of a tap FIR filter, :
where is the column vector containing the most recent samples of The estimate of the recovered desired signal is
The goal is to estimate the parameters of the filter , and at each time we refer to the current estimate as and the adapted least squares estimate by is also a column vector, as shown below, and the transpose, , is a row vector. The matrix product (which is the dot product of and ) is , a scalar. The estimate is "good" if is small in magnitude in some least squares sense. As time evolves, it is desired to avoid completely redoing the least squares algorithm to find the new estimate for , in terms of
The benefit of the RLS algorithm is that there is no need to invert matrices, thereby saving computational cost. Another advantage is that it provides intuition behind such results as the Kalman filter.
λ таңдау
Неғұрлым кішірек болса, соғұрлым алдыңғы үлгілердің ковариациялық матрицаға үлесі төмендейді. Бұл сүзгіні соңғы үлгілерге сезімтал етеді, яғни сүзгі коэффициенттерінің құбылуы артады. Бұл жағдай өсіп келе жатқан терезелі RLS алгоритмі деп аталады. Іс жүзінде, мәні әдетте 0,98 мен 1 аралығында таңдалады. II типті максималды ықтималдық бағалауын қолдану арқылы оптималды мәні деректер жиынтығынан есептелуі мүмкін.
Желілік рекурсивті ең кіші квадраттар сүзгісі (LRLS)
Торлы рекурсивті ең кіші квадраттар адаптивті сүзгісі стандартты RLS-ке ұқсас, бірақ оған арифметикалық операциялардың азырақ саны қажет (N реті). Ол конвенциялық LMS алгоритмдеріне қарағанда жылдамрақ конвергенция жылдамдығы, модулдік құрылым және кіріс корреляциялық матрицасының өзіндік мәндерінің таралуындағы өзгерістерге сезімтал еместік сияқты қосымша артықшылықтарды ұсынады. Сипатталған LRLS алгоритмі а posteriori қателеріне негізделген және нормаланған түрін қамтиды. Туынды стандартты RLS алгоритміне ұқсас және алдын ала болжау жағдайындағы анықтамаға негізделген, онда кіріс сигналы ең жаңа үлгі ретінде қарастырылады. Кері болжау жағдайы , мұнда i – болжауға тырысатын өткен үлгінің индексі, ал кіріс сигналы – ең соңғы үлгі.
Нормалдастырылған рекурсивті ең кіші квадраттар сүзгісі (NLRLS)
LRLS-тің нормаланған түрі азырақ рекурсиялар мен айнымалыларды қамтиды. Ол алгоритмнің ішкі айнымалыларына нормалау қолдану арқылы есептелінеді, бұл олардың мәнін бірге шектейді. Бірақ, бөлу және квадрат түбір операцияларының көптігіне байланысты, бұл көбінесе нақты уақыт қолданбаларында қолданылмайды, себебі олардың есептеу жүктемесі жоғары болады.