Введение

Адаптивный алгоритм фильтра для цифровой обработки сигналов. Рекурсивный метод наименьших квадратов (RLS) — это адаптивный алгоритм фильтра, рекурсивно определяющий коэффициенты, минимизирующие взвешенную линейную функцию стоимости, основанную на методе наименьших квадратов, для входных сигналов. Этот подход отличается от других алгоритмов, таких как метод наименьших средних квадратов (LMS), которые стремятся к уменьшению среднеквадратичной ошибки. При выводе RLS входные сигналы рассматриваются как детерминированные, в то время как для LMS и подобных алгоритмов они считаются стохастическими. По сравнению с большинством аналогов, RLS демонстрирует чрезвычайно быструю сходимость. Однако это преимущество достигается за счет высокой вычислительной сложности.

Мотивация

RLS был открыт Гауссом, но оставался неиспользованным или игнорировался до 1950 года, когда Плакетт заново открыл оригинальную работу Гаусса 1821 года. В общем случае, RLS может быть использован для решения любой задачи, которая может быть решена адаптивными фильтрами. Например, предположим, что сигнал передается по эхо- и шумовому каналу, из-за чего он принимается в виде

где представляет собой аддитивный шум. Цель фильтра RLS – восстановить желаемый сигнал с помощью FIR-фильтра с отводами:

где – столбец-вектор, содержащий последних отсчетов сигнала. Оценка восстановленного желаемого сигнала равна

Цель состоит в том, чтобы оценить параметры фильтра , и в каждый момент времени мы называем текущую оценку , а оценку методом наименьших квадратов – . Также является столбец-вектором, как показано ниже, а его транспонирование, , – строковый вектор. Матричное произведение (которое является скалярным произведением и ) – это скаляр. Оценка считается "хорошей", если мала по величине в некотором смысле наименьших квадратов. С течением времени желательно избегать полного повторного выполнения алгоритма наименьших квадратов для получения новой оценки для , в зависимости от . Преимущество алгоритма RLS заключается в том, что нет необходимости инвертировать матрицы, что позволяет сэкономить вычислительные ресурсы. Другое преимущество состоит в том, что он дает интуитивное понимание таких результатов, как фильтр Калмана.

Выбор λ

Чем меньше λ, тем меньше вклад предыдущих выборок в матрицу ковариаций. Это делает фильтр более чувствительным к последним выборкам, что приводит к большим колебаниям коэффициентов фильтра. Случай, когда λ < 1, называют алгоритмом RLS с расширяющимся окном. На практике λ обычно выбирают в диапазоне от 0,98 до 1. Используя оценку максимального правдоподобия второго типа, можно оценить оптимальное значение λ на основе набора данных.

Фильтр рекурсивных наименьших квадратов (LRLS)

Рекурсивный адаптивный фильтр решетки наименьших квадратов связан со стандартным RLS, но требует меньшего числа арифметических операций (порядка N). Он обладает дополнительными преимуществами по сравнению с традиционными алгоритмами LMS, такими как более высокая скорость сходимости, модульная структура и нечувствительность к изменениям разброса собственных значений корреляционной матрицы входного сигнала. Описанный алгоритм LRLS основан на апостериорных ошибках и включает в себя нормализованную форму. Вывод аналогичен стандартному алгоритму RLS и основан на определении. В случае прямого прогнозирования мы имеем , где – наиболее актуальный образец входного сигнала. В случае обратного прогнозирования – , где i – индекс образца в прошлом, который мы хотим предсказать, а – самый последний образец входного сигнала.

Фильтр нормализованных рекурсивных наименьших квадратов решетки (NLRLS)

Нормализованная форма LRLS содержит меньше рекурсий и переменных. Её можно вычислить, применив нормализацию к внутренним переменным алгоритма, которая будет поддерживать их абсолютную величину не превышающей единицу. Обычно это не используется в приложениях реального времени из-за большого количества операций деления и извлечения квадратного корня, требующих значительных вычислительных ресурсов.