Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Төртінші дәрежелі жазықтық қисықтар класы
Class of quartic plane curves
Геометрияда Кассини овалы – екі белгілі нүктеге (фокус) дейінгі қашықтықтардың көбейтіндісі тұрақты болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орны ретінде анықталатын төртінші дәрежелі жазықтық қисығы. Бұл эллипске қарама-қарсы, онда қашықтықтардың қосындысы тұрақты болады, көбейтіндісі емес. Кассини овалдары – қолданылатын полиномның дәрежесі 2-ге тең болғандағы полиномдық лемнискаттардың ерекше жағдайы. Кассини овалдары оларды 17 ғасырдың соңында зерттеген астроном Джованни Доменико Кассинидің құрметіне аталған. Кассини планетаның басқа денедің айналасында айналатыны осындай овалдардың бірімен жүретінін, ал айналатын дененің овалдың бір фокусінде болатынын болжаған. Басқа атаулары: Кассини овалдары, Кассини қисықтары және Кассини овалдары.
In geometry, a Cassini oval is a quartic plane curve defined as the locus of points in the plane such that the product of the distances to two fixed points (foci) is constant. This may be contrasted with an ellipse, for which the sum of the distances is constant, rather than the product. Cassini ovals are the special case of polynomial lemniscates when the polynomial used has degree 2. Cassini ovals are named after the astronomer Giovanni Domenico Cassini who studied them in the late 17th century. Cassini believed that a planet orbiting around another body traveled on one of these ovals, with the body it orbited around at one focus of the oval. Other names include Cassinian ovals, Cassinian curves and ovals of Cassini.
Пішіні
Иілгіш e = b/a-ға тәуелді. e < 1 болғанда, қисық екі үзіліссіз контурдан тұрады, олардың әрқайсысында фокус болады. e = 1 болғанда, қисық Бернулли лемнискатасы болып табылады, ол басында екі нүктесі (әсіресе, крунод) бар бүйірлі сегіздік пішінінде. e > 1 болғанда, екі фокусты қамтитын жалғыз, біріккен контур болады. Ол жержақ пішіндес және a → 0 (содан e → ∞) лимит жағдайында, онда фокустар бір-бірімен беттеседі, бұл шеңбер. Иілгіш әрқашан ±c нүктелерінде x-кесісімдерге ие, мұнда c² = a² + b². e < 1 болса, екі қосымша нақты x-кесісімі болады, ал e > 1 болса, екі нақты y-кесісімі болады, ал қалған x және y-кесісімдері жорамал. Иілгіш шексіздіктегі шеңберлік нүктелерде екі нүктеге ие, яғни қисық бициркулярлы. Бұл нүктелер бифлекнодтар, яғни қисықтың осы нүктелерде екі түрлі жанасуы бар және қисықтың әрбір тармағында осы жерде иілу нүктесі бар. Осы ақпараттан және Плюкер формулаларынан e ≠ 1 жағдайында Плюкер сандарын шығаруға болады: дәрежесі = 4, класы = 8, түйіндер саны = 2, шеттер саны = 0, екі рет жанасатын түзулер саны = 8, иілу нүктелерінің саны = 12, туысы = 1. Шеңберлік нүктелердегі жанасулар x ± iy = ±a арқылы беріледі, олардың қиылысу нүктелері (±a, 0) болып табылады. Осылайша, фокустар шын мәнінде Плюкер анықтаған мағынадағы фокустар. Шеңберлік нүктелер иілу нүктелері, сондықтан олар үштік фокустар. e ≠ 1 болғанда қисықтың сегізінші класы болады, бұл барлығы сегіз нақты фокус болуы керек екенін білдіреді. Олардың 6-сы екі үштік фокуста есептелген, ал қалған екеуі қисықта екі контур болғанда x-осьте, ал қисықта жалғыз контур болғанда y-осьте орналасқан.
The curve depends, up to similarity, on e = b/a. When e < 1, the curve consists of two disconnected loops, each of which contains a focus. When e = 1, the curve is the lemniscate of Bernoulli having the shape of a sideways figure eight with a double point (specifically, a crunode) at the origin. When e > 1, the curve is a single, connected loop enclosing both foci. It is peanut shaped for and convex for The limiting case of a → 0 (hence e → ), in which case the foci coincide with each other, is a circle. The curve always has x intercepts at ± c where c2 = a2 + b2. When e < 1 there are two additional real x intercepts and when e > 1 there are two real y intercepts, all other x and y intercepts being imaginary. The curve has double points at the circular points at infinity, in other words the curve is bicircular. These points are biflecnodes, meaning that the curve has two distinct tangents at these points and each branch of the curve has a point of inflection there. From this information and Plücker's formulas it is possible to deduce the Plücker numbers for the case e ≠ 1: degree = 4, class = 8, number of nodes = 2, number of cusps = 0, number of double tangents = 8, number of points of inflection = 12, genus = 1. The tangents at the circular points are given by x ± iy = ± a which have real points of intersection at (± a, 0). So the foci are, in fact, foci in the sense defined by Plücker. The circular points are points of inflection so these are triple foci. When e ≠ 1 the curve has class eight, which implies that there should be a total of eight real foci. Six of these have been accounted for in the two triple foci and the remaining two are at
So the additional foci are on the x axis when the curve has two loops and on the y axis when the curve has a single loop.
Мысалдар
Мандельброт жиынының екінші лемнискаты Кассини овалы болып табылады, ол теңдеумен сипатталады. Оның фокустары күрделі жазықтықтағы z орбитасының әр екінші мәні нөлге тең болатын c нүктелерінде орналасқан, яғни 0 және -1 мәндерінде.
The second lemniscate of the Mandelbrot set is a Cassini oval defined by the equation Its foci are at the points c on the complex plane that have orbits where every second value of z is equal to zero, which are the values 0 and −1.