Введение

Класс квартичных плоских кривых

В геометрии овал Кассини — это квартичная плоская кривая, определяемая как геометрическое место точек в плоскости, для которых произведение расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянно. Это отличается от эллипса, для которого постоянна сумма расстояний, а не произведение. Овалы Кассини являются частным случаем полиномиальных лемнискат, когда используемый полином имеет степень 2. Овалы Кассини названы в честь астронома Джованни Доменико Кассини, который изучал их в конце XVII века. Кассини полагал, что планета, обращающаяся вокруг другого тела, движется по одному из этих овалов, при этом тело, вокруг которого она вращается, находится в одном из фокусов овала. Другие названия включают кассиниевы овалы, кассиниевы кривые и овалы Кассини.

Форма

Кривая зависит, вплоть до подобия, от e = b/a. При e < 1 кривая состоит из двух несвязанных петель, каждая из которых содержит фокус. При e = 1 кривая представляет собой лемнискату Бернулли, имеющую форму восьмёрки, расположенной боком, с двойной точкой (в частности, кронодом) в начале координат. При e > 1 кривая представляет собой единую связанную петлю, охватывающую оба фокуса. Она имеет форму арахиса при и выпуклая при . Предельный случай a → 0 (следовательно, e → ∞), в котором фокусы совпадают, является окружностью. Кривая всегда имеет x-пересечения в ±c, где c² = a² + b². При e < 1 существуют два дополнительных вещественных x-пересечения, а при e > 1 – два вещественных y-пересечения, все остальные x- и y-пересечения являются мнимыми. Кривая имеет двойные точки в круговых точках в бесконечности, иными словами, кривая является бициркулярной. Эти точки являются бифлекнодами, что означает, что кривая имеет две различные касательные в этих точках, и каждая ветвь кривой имеет там точку перегиба. Исходя из этой информации и формул Плюккера, можно вывести числа Плюккера для случая e ≠ 1: степень = 4, класс = 8, число узлов = 2, число куспидов = 0, число двойных касательных = 8, число точек перегиба = 12, род = 1. Касательные в круговых точках задаются выражением x ± iy = ±a, которые имеют вещественные точки пересечения в (±a, 0). Таким образом, фокусы, по сути, являются фокусами в смысле, определённом Плюккером. Круговые точки являются точками перегиба, следовательно, это тройные фокусы. Когда e ≠ 1 кривая имеет класс восемь, что подразумевает наличие в общей сложности восьми вещественных фокусов. Шесть из них учтены в двух тройных фокусах, а остальные два находятся на оси x, когда кривая имеет две петли, и на оси y, когда кривая имеет одну петлю.

Примеры

Второй лемнискат множества Мандельброта — это овал Кассини, определяемый уравнением. Его фокусы расположены в точках c на комплексной плоскости, орбиты которых содержат значения z, обращающиеся в ноль через один шаг, то есть значения 0 и −1.