Кіріспе
Екі бір-біріне қатысты қозғалатын беттер арасындағы тұтқыр сұйықтық ағынының моделі. Сұйықтық динамикасында Куэтт ағыны – екі беттің арасындағы кеңістіктегі тұтқыр сұйықтықтың ағыны, олардың біреуі екіншісіне қатысты жанама бағытта қозғалады. Беттердің салыстырмалы қозғалысы сұйықтыққа серпімдік күшін түсіреді және ағынды тудырады. Мүшелемеге сәйкес, ағын бағытында қолданылатын қысым градиенті де болуы мүмкін. Куэтт конфигурациясы Жердің мантиісі мен атмосферасы сияқты нақты мәселелерді модельдеуге, сондай-ақ жеңіл жүктемелі подшипниктердегі ағынды сипаттауға қолданылады. Ол вискометрияда және қайтымдылық шамалау үшін де пайдаланылады. Ол 19 ғасырдың соңында француздық Анже университетінде физика профессоры болған Морис Куэттің құрметіне аталған.
In fluid dynamics, Couette flow is the flow of a viscous fluid in the space between two surfaces, one of which is moving tangentially relative to the other. The relative motion of the surfaces imposes a shear stress on the fluid and induces flow. Depending on the definition of the term, there may also be an applied pressure gradient in the flow direction. The Couette configuration models certain practical problems, like the Earth's mantle and atmosphere, and flow in lightly loaded journal bearings. It is also employed in viscometry and to demonstrate approximations of reversibility. It is named after Maurice Couette, a Professor of Physics at the French University of Angers in the late 19th century.
Жазық Couette ағыны
Куэтт ағыны жетекші физика және инженерия курстарында иысу күшімен туындаған сұйық қозғалысын көрсету үшін жиі қолданылады. Ең қарапайым конфигурация – арақашықтығымен бөлінген екі шексіз, параллель пластина; бір пластина өз жазықтығындағы тұрақты салыстырмалы жылдамдықпен қозғалады. Қысым градиенттерін ескермеу арқылы, Навье-Стокс теңдеулері келесідей қарапайымдалады:
where is the spatial coordinate normal to the plates and is the velocity field. This equation reflects the assumption that the flow is unidirectional — that is, only one of the three velocity components is non trivial. If the lower plate corresponds to , the boundary conditions are and The exact solution
can be found by integrating twice and solving for the constants using the boundary conditions. A notable aspect of the flow is that shear stress is constant throughout the domain. In particular, the first derivative of the velocity, , is constant. According to Newton's Law of Viscosity (Newtonian fluid), the shear stress is the product of this expression and the (constant) fluid viscosity.
мұндағы – пластиналарға перпендикуляр кеңістіктік координата, ал – жылдамдық өрісі. Бұл теңдеу ағынның бір бағытты (унидирекциялық) екенін көрсетеді, яғни үш жылдамдық компонентінің тек біреуі нөлдік емес. Егер төменгі пластинаға сәйкес болса, шекаралық шарттар келесідей болады: және . Дәл шешімді екі рет интегралдау және шекаралық шарттарды қолданып тұрақтыларды анықтау арқылы табуға болады. Ағыстың ерекше ерекшелігі – иысу кернеуі домен бойында тұрақты болады. Атап айтқанда, жылдамдықтың бірінші туындысы, тұрақты. Ньютонның тұтқырлық заңына (Ньютондық сұйықтық) сәйкес, иысу кернеуі осы өрнектің және (тұрақты) сұйықтық тұтқырлығының көбейтіндісіне тең.
where is the spatial coordinate normal to the plates and is the velocity field. This equation reflects the assumption that the flow is unidirectional — that is, only one of the three velocity components is non trivial. If the lower plate corresponds to , the boundary conditions are and The exact solution
can be found by integrating twice and solving for the constants using the boundary conditions. A notable aspect of the flow is that shear stress is constant throughout the domain. In particular, the first derivative of the velocity, , is constant. According to Newton's Law of Viscosity (Newtonian fluid), the shear stress is the product of this expression and the (constant) fluid viscosity.
Қысым градиенті бар жазық ағын
Жалпы Куэтт ағыны табақшаларға параллель бағыттағы тұрақты қысым градиентін қамтиды. Навье-Стокс теңдеулері мынадай:
where is the dynamic viscosity. Integrating the above equation twice and applying the boundary conditions (same as in the case of Couette flow without pressure gradient) gives
The pressure gradient can be positive (adverse pressure gradient) or negative (favorable pressure gradient). In the limiting case of stationary plates , the flow is referred to as Plane Poiseuille flow, and has a symmetric (with reference to the horizontal mid plane) parabolic velocity profile.
мұнда – динамикалық тұтқырлық. Жоғарыдағы теңдеуді екі рет интеграциялау және шекаралық шарттарды қолдану (қысым градиенті жоқ Куэтт ағынындағыдай) қысым градиенті оң (кері қысым градиенті) немесе теріс (жағымды қысым градиенті) болуы мүмкін. Пластиналардың қозғалмайтын шектейтін жағдайында ағын жазық Пейзель ағыны деп аталады және симметриялық (көлденең орта жазықтыққа қатысты) параболалық жылдамдық профиліне ие.
where is the dynamic viscosity. Integrating the above equation twice and applying the boundary conditions (same as in the case of Couette flow without pressure gradient) gives
The pressure gradient can be positive (adverse pressure gradient) or negative (favorable pressure gradient). In the limiting case of stationary plates , the flow is referred to as Plane Poiseuille flow, and has a symmetric (with reference to the horizontal mid plane) parabolic velocity profile.
Коаксиалдық цилиндрлер
Тейлор-Куэтт ағыны – екі айналатын, шексіз ұзын, коаксиалды цилиндрлер арасындағы ағын. Алғашқы мәселені 1845 жылы Стокс шешкен, бірақ бұл ағынмен Джеффри Инграм Тейлордың есімі байланысты, себебі ол 1923 жылғы танымал мақаласында оның тұрақтылығын зерттеді. Мәселені цилиндрлік координаттарда шешуге болады. Ішкі және сыртқы цилиндрлердің радиустарын R₁ және R₂ деп белгілейік. Егер цилиндрлер тұрақты бұрыштық жылдамдықтармен ω₁ және ω₂ айналса, онда жылдамдықтың r бағыты бойынша өрнегі:
Бұл теңдеу қисықтық әсерінің ағын доменінде тұрақты серпіліс болуына мүмкіндік бермейтінін көрсетеді.
Ұзындығы шектеулі коаксиалдық цилиндрлер
Классикалық Тейлор-Куэтт ағыны мәселесі шексіз ұзын цилиндрлерді қарастырады; егер цилиндрлердің ұзындығы нақты болса, онда талдау өзгертілуі керек (бірақ ағын бір бағытты болып қалады). , үшін шекті ұзындықтағы мәселені айнымалыларды бөлу немесе интегралды түрлендірулер арқылы шешуге болады, нәтижесінде:
мұнда – бірінші және екінші түріндегі модификацияланған Бессель функциялары.