Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Модель течения вязкой жидкости между двумя поверхностями, движущимися относительно друг друга.
Model of viscous fluid flow between two surfaces moving relative to each other
В гидродинамике течение Куэтта – это течение вязкой жидкости в пространстве между двумя поверхностями, одна из которых движется касательно к другой. Относительное движение поверхностей создает касательное напряжение в жидкости и вызывает течение. В зависимости от определения, в направлении течения может присутствовать также и приложенный градиент давления. Конфигурация Куэтта моделирует ряд практических задач, таких как мантия и атмосфера Земли, а также течение в слабонагруженных подшипниках скольжения. Она также используется в вискометрии и для демонстрации приближений обратимости. Названа в честь Мориса Куэтта, профессора физики в французском университете Анже в конце XIX века.
In fluid dynamics, Couette flow is the flow of a viscous fluid in the space between two surfaces, one of which is moving tangentially relative to the other. The relative motion of the surfaces imposes a shear stress on the fluid and induces flow. Depending on the definition of the term, there may also be an applied pressure gradient in the flow direction. The Couette configuration models certain practical problems, like the Earth's mantle and atmosphere, and flow in lightly loaded journal bearings. It is also employed in viscometry and to demonstrate approximations of reversibility. It is named after Maurice Couette, a Professor of Physics at the French University of Angers in the late 19th century.
Плановый поток Куэтта
Поток Куэтта часто используется в курсах физики и инженерии для иллюстрации движения жидкости, обусловленного сдвигом. Простая конфигурация соответствует двум бесконечным параллельным пластинам, разделенным расстоянием *h*; одна пластина движется с постоянной относительной скоростью *U* в своей плоскости. Пренебрегая градиентами давления, уравнения Навье-Стокса упрощаются до вида:
Couette flow is frequently used in undergraduate physics and engineering courses to illustrate shear driven fluid motion. A simple configuration corresponds to two infinite, parallel plates separated by a distance ; one plate translates with a constant relative velocity in its own plane. Neglecting pressure gradients, the Navier–Stokes equations simplify to
где *y* – пространственная координата, нормальная к пластинам, а *v(y)* – поле скорости. Это уравнение отражает предположение об однонаправленности потока, то есть только одна из трех компонент скорости ненулевая. Если нижняя пластина соответствует *y* = 0, то граничные условия имеют вид *v(0) = 0* и *v(h) = U*. Точное решение
where is the spatial coordinate normal to the plates and is the velocity field. This equation reflects the assumption that the flow is unidirectional — that is, only one of the three velocity components is non trivial. If the lower plate corresponds to , the boundary conditions are and The exact solution
можно найти, дважды проинтегрировав уравнение и определив константы с использованием граничных условий. Важной особенностью этого потока является то, что касательное напряжение постоянно во всей области течения. В частности, первая производная скорости по координате *y*, *dv/dy*, является постоянной. Согласно закону вязкости Ньютона (для ньютоновской жидкости), касательное напряжение является произведением этого выражения на (постоянную) вязкость жидкости.
can be found by integrating twice and solving for the constants using the boundary conditions. A notable aspect of the flow is that shear stress is constant throughout the domain. In particular, the first derivative of the velocity, , is constant. According to Newton's Law of Viscosity (Newtonian fluid), the shear stress is the product of this expression and the (constant) fluid viscosity.
Плоскость потока с градиентом давления
Более общий поток Куетта включает постоянный градиент давления в направлении, параллельном пластинам. Уравнения Навье-Стокса имеют вид:
A more general Couette flow includes a constant pressure gradient in a direction parallel to the plates. The Navier–Stokes equations are
где μ — динамическая вязкость. Двойное интегрирование вышеуказанного уравнения и применение граничных условий (таких же, как в случае потока Куетта без градиента давления) дает:
where is the dynamic viscosity. Integrating the above equation twice and applying the boundary conditions (same as in the case of Couette flow without pressure gradient) gives
Градиент давления может быть положительным (неблагоприятный градиент давления) или отрицательным (благоприятный градиент давления). В предельном случае неподвижных пластин поток называется плоским потоком Пуазея и имеет симметричный (относительно горизонтальной средней плоскости) параболический профиль скорости.
The pressure gradient can be positive (adverse pressure gradient) or negative (favorable pressure gradient). In the limiting case of stationary plates , the flow is referred to as Plane Poiseuille flow, and has a symmetric (with reference to the horizontal mid plane) parabolic velocity profile.
Цилиндры коаксиальные
Течение Тейлора-Куэтта — это течение между двумя вращающимися, бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами. Первоначальная задача была решена Стоксом в 1845 году, но имя Джеффри Инграма Тейлора связано с этим течением, поскольку он исследовал его устойчивость в своей известной работе 1923 года. Задача может быть решена в цилиндрических координатах. Обозначим радиусы внутреннего и внешнего цилиндров как *r₁* и *r₂*. Если цилиндры вращаются с постоянными угловыми скоростями *ω₁* и *ω₂*, то скорость в направлении *z* равна:
Taylor–Couette flow is a flow between two rotating, infinitely long, coaxial cylinders. The original problem was solved by Stokes in 1845, but Geoffrey Ingram Taylor's name was attached to the flow because he studied its stability in a famous 1923 paper. The problem can be solved in cylindrical coordinates Denote the radii of the inner and outer cylinders as and Assuming the cylinders rotate at constant angular velocities and , then the velocity in the direction is
Это уравнение показывает, что эффекты кривизны не допускают постоянного касательного напряжения в области течения.
This equation shows that the effects of curvature no longer allow for constant shear in the flow domain.
Коаксиальные цилиндры конечной длины
Классическая задача о потоке Тейлора — Куэтта предполагает бесконечно длинные цилиндры; если цилиндры имеют конечную, но не пренебрежимо малую длину, то анализ необходимо модифицировать (хотя поток остается однонаправленным). Для , задача о конечной длине может быть решена методом разделения переменных или интегральных преобразований, что дает:
The classical Taylor–Couette flow problem assumes infinitely long cylinders; if the cylinders have non negligible finite length , then the analysis must be modified (though the flow is still unidirectional). For , the finite length problem can be solved using separation of variables or integral transforms, giving:
где — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода.
where are the Modified Bessel functions of the first and second kind.