Кіріспе
Сұйықтық ағынының түрі
Стокс ағыны (Джордж Габриэль Стокстің есімімен аталған), сондай-ақ жыртылу ағыны немесе жыртылу қозғалысы деп те аталады, бұл сұйықтық ағынының бір түрі, онда адвективтік инерциялық күштер тұтқыр күштерге қарағанда шағын болады. Рейнольдс саны төмен, яғни бұл сұйықтықтың өте баяу жылдамдықтары, өте жоғары тұтқырлығы немесе ағынның ұзындық өлшемдерінің өте кішкентай болу жағдайында кездеседі. Жыртылу ағыны алғаш рет майлауды түсіну үшін зерттелді. Табиғатта бұл ағыс микроорганизмдер мен сперматозоидтардың қозғалысында байқалады. Техникалық қолданыста ол бояуларда, МЭМС құрылғыларында және жалпы алғанда, жоғары тұтқырлыққа ие полимерлердің ағынында кездеседі. Стокс ағыны үшін қозғалыс теңдеулері, Стокс теңдеулері деп аталады, бұл Навье-Стокс теңдеулерінің сызықтық түрленуі болып табылады, сондықтан оларды сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған белгілі әдістермен шешуге болады. Стокс ағынының негізгі Грин функциясы – Стокслет, ол Стокс ағынына енген жеке нүктелік күшке байланысты. Оның туындыларынан басқа да негізгі шешімдер алуға болады. Стокслет алғаш рет 1927 жылы Осенмен алынған, бірақ 1953 жылға дейін Ханкок оны осылай атамаған. Ньютондық және микрополярлық сұйықтықтар үшін уақытқа тәуелді кез келген трансляциялық және айналу қозғалыстарымен байланысты жалпыланған тұрақсыз Стокс және Осен ағындары үшін жабық түрдегі негізгі шешімдер алынған.
Сток теңдеулері
Стокс ағыны үшін қозғалыс теңдеуін тұрақты күйдегі Навье-Стокс теңдеулерін сызықтықтап алу арқылы шығаруға болады. Инерциялық күштер тұтқыр күштерге қарағанда мардымсыз деп есептелінеді, ал Навье-Стокс теңдеулеріндегі импульс тепе-теңдігінің инерциялық мүшелерін жою оны Стокс теңдеулеріндегі импульс тепе-теңдігіне дейін кемітеді: және сыртқы дене күші. Толық Стокс теңдеулері сонымен қатар масса сақталу теңдеуін қамтиды, ол көбінесе мынадай түрде жазылады: мұндағы – сұйықтықтың тығыздығы, ал – сұйықтықтың жылдамдығы. Сығылмайтын ағынның қозғалыс теңдеулерін алу үшін тығыздық , тұрақты шама деп қарастырылады. Сонымен қатар, кейде тұрақсыз Стокс теңдеулерін де қарастыруға болады, онда термин импульс тепе-теңдігі теңдеуінің сол жағына қосылады. Бұл қасиеттер сығылмайтын Ньютондық Стокс ағыны үшін дұрыс болғанымен, Ньютон емес сұйықтықтардың сызықтық емес және кейде уақытқа тәуелді сипаты олардың жалпы жағдайда орындалмауын білдіреді.
where is the fluid density and the fluid velocity. To obtain the equations of motion for incompressible flow, it is assumed that the density, , is a constant. Furthermore, occasionally one might consider the unsteady Stokes equations, in which the term is added to the left hand side of the momentum balance equation.]] While these properties are true for incompressible Newtonian Stokes flows, the non linear and sometimes time dependent nature of non Newtonian fluids means that they do not hold in the more general case.
Стокстің парадоксы
Стокстың ағынының қызықты ерекшелігі Стокстың парадоксы деп белгілі: екі өлшемді диск төңірегінде сұйықтықтың Стокстың ағыны болуы мүмкін емес; немесе, балама ретінде, шексіз ұзын цилиндрдің айналасындағы Стокстың теңдеулеріне тривиальді емес шешім жоқ.
Уақытша қайталануды көрсету
Тейлор-Куэтт жүйесі ламинарлық ағындарды тудыра алады, онда концентрлі цилиндрлердің сұйықтығы спираль тәрізді бір-бірінен өтеді. Жүгері сиропы сияқты жоғары тұтқырлыққа ие сұйықтық екі цилиндр арасындағы кеңістікті толтырады, ал түсті аймақтары мөлдір сыртқы цилиндр арқылы көрінеді. Цилиндрлер бір-біріне қатысты төмен жылдамдықпен айналады, бұл сұйықтықтың жоғары тұтқырлығы және кеңістіктің жұқа болуымен бірге Рейнольдс санын төмендетеді, сондықтан түстердің араласу сияқты көрінісі іс жүзінде ламинарлық болып келеді және бастапқы күйге жуық кері қайтаруға болады. Бұл сұйықтықты араластырып, араластырғыштың бағытын кері бұру арқылы оны қайта бөлудің керемет мысалы.
Грин функциясы бойынша: Stokeslet
Стокс теңдеулерінің сызықтығы, сығылмайтын Ньютондық сұйықтық жағдайында, Грин функциясы , бар екенін білдіреді. Грин функциясы Стокс теңдеулерін шешу арқылы табылады, онда күштер мүшесі бастапқы нүктеде әрекет ететін нүктелік күшпен алмастырылады, ал шекаралық шарттар шексіздікте жоғалады:
where is the Dirac delta function, and represents a point force acting at the origin. The solution for the pressure p and velocity u with |u| and p vanishing at infinity is given by
The Lorentz reciprocal theorem has also been used in the context of elastohydrodynamic theory to derive the lift force exerted on a solid object moving tangent to the surface of an elastic interface at low Reynolds numbers.
мұндағы – Дирак дельта функциясы, ал – бастапқы нүктеде әрекет ететін нүктелік күшті көрсетеді. Қысым p және жылдамдық u үшін, |u| және p шексіздікте жоғалып кетуімен берілген шешім:
where is the Dirac delta function, and represents a point force acting at the origin. The solution for the pressure p and velocity u with |u| and p vanishing at infinity is given by
The Lorentz reciprocal theorem has also been used in the context of elastohydrodynamic theory to derive the lift force exerted on a solid object moving tangent to the surface of an elastic interface at low Reynolds numbers.
Лоренц өзара байланыс теоремасы эластогидродинамикалық теория контекстінде, серпімді бетіне жанама қозғалатын қатты денеге түсетін көтеру күшін шығару үшін де қолданылған.
where is the Dirac delta function, and represents a point force acting at the origin. The solution for the pressure p and velocity u with |u| and p vanishing at infinity is given by
The Lorentz reciprocal theorem has also been used in the context of elastohydrodynamic theory to derive the lift force exerted on a solid object moving tangent to the surface of an elastic interface at low Reynolds numbers.
Факсен заңдары
Факсен заңдары – қоршаған ағын мен оның туындылары арқылы көп полюсті моменттерді көрсететін тікелей қатынастар. Хилдинг Факсен бұл заңдарды алғаш рет шарға түсетін күшті, және айналу моментін есептеу үшін жасаған, олар мынадай түрде жазылады:
мұнда – динамикалық тұтқырлық, – бөлшектің радиусы, – қоршаған ағын, – бөлшектің жылдамдығы, – фондық ағынның бұрыштық жылдамдығы, ал – бөлшектің бұрыштық жылдамдығы. Факсен заңдарын эллипсоидтар, сфероидтар және шар тәрізді тамшылар сияқты басқа пішіндердің моменттерін сипаттау үшін де қолдануға болады.