Введение

Тип течения жидкости

Течение Стокса (названо в честь Джорджа Габриэля Стокса), также известное как ползучее течение или медленное течение, — это тип течения жидкости, в котором адвективные силы инерции малы по сравнению с вязкими силами. Число Рейнольдса мало, то есть это типичная ситуация в течениях, где скорости жидкости очень низкие, вязкость очень велика или характерные размеры течения очень малы. Ползучее течение впервые было изучено для понимания процессов смазки. В природе этот тип течения наблюдается при плавании микроорганизмов и сперматозоидов. В технике оно встречается в красках, микроэлектромеханических системах (MEMS) и при течении вязких полимеров в целом. Уравнения движения для течения Стокса, называемые уравнениями Стокса, являются линеаризацией уравнений Навье-Стокса и, следовательно, могут быть решены рядом известных методов для линейных дифференциальных уравнений. Основная функция Грина для течения Стокса — это стоукслет, который связан с сингулярной точечной силой, встроенной в течение Стокса. Из его производных можно получить другие фундаментальные решения. Стоукслет был впервые выведен Озеном в 1927 году, хотя название «стоукслет» появилось только в 1953 году благодаря Хэнкоку. Получены аналитические решения в замкнутой форме для обобщенных неустановившихся течений Стокса и Озена, связанных с произвольными зависящими от времени поступательными и вращательными движениями, для ньютоновских и микрополярных жидкостей.

Уравнения Стокса

Уравнение движения для потока Стокса можно получить, линеаризовав стационарные уравнения Навье-Стокса. Инерциальные силы считаются пренебрежимо малыми по сравнению с вязкими силами, и исключение инерционных членов из уравнения баланса импульса в уравнениях Навье-Стокса приводит к уравнению баланса импульса в уравнениях Стокса: и приложенной объемной силы. Полные уравнения Стокса также включают уравнение сохранения массы, которое обычно записывается в виде: где ρ – плотность жидкости, а **u** – скорость жидкости. Для получения уравнений движения для несжимаемого потока предполагается, что плотность ρ является постоянной. Кроме того, иногда рассматриваются нестационарные уравнения Стокса, в которых член добавляется к левой части уравнения баланса импульса. В то время как эти свойства справедливы для несжимаемых ньютоновских потоков Стокса, нелинейный и иногда зависящий от времени характер неньютоновских жидкостей означает, что они не применимы в более общем случае.

Парадокс Стоукса

Интересным свойством потока Стокса является так называемый парадокс Стокса: невозможно существование потока Стокса жидкости вокруг диска в двумерном пространстве; или, что эквивалентно, отсутствие нетривиального решения уравнений Стокса вблизи бесконечно длинного цилиндра.

Доказательство обратной возможности в течение времени

Система Тейлора-Куэтта может создавать ламинарные потоки, в которых концентрические цилиндры жидкости движутся относительно друг друга по видимой спирали. Жидкость, например кукурузный сироп с высокой вязкостью, заполняет зазор между двумя цилиндрами, при этом цветные области жидкости видны сквозь прозрачный внешний цилиндр. Цилиндры вращаются относительно друг друга с небольшой скоростью, что в сочетании с высокой вязкостью жидкости и малой толщиной зазора обеспечивает низкое число Рейнольдса, благодаря чему кажущееся смешивание цветов фактически является ламинарным и может быть затем обращено приблизительно в исходное состояние. Это создает эффектную демонстрацию кажущегося смешивания жидкости с последующим её разделением путём изменения направления вращения.

По функции Грина: Стокслет

Линейность уравнений Стокса для несжимаемой ньютоновской жидкости означает, что существует функция Грина, . Функция Грина находится путем решения уравнений Стокса с заменой члена, представляющего внешнюю силу, на точечную силу, действующую в начале координат, и граничными условиями, стремящимися к нулю на бесконечности: где – дельта-функция Дирака, а обозначает точечную силу, действующую в начале координат. Решение для давления p и скорости u, при условии, что |u| и p стремятся к нулю на бесконечности, задается следующим образом: Теорема Лоренца также использовалась в контексте эластогидродинамической теории для вывода подъемной силы, действующей на твердый объект, движущийся касательно поверхности упругого интерфейса при малых числах Рейнольдса.

Законы Факсена

Законы Факсена — это прямые соотношения, выражающие мультипольные моменты через окружающий поток и его производные. Впервые разработанные Хилдингом Факсеном для вычисления силы и момента, действующей на сферу, они имеют следующий вид:

где — динамическая вязкость, — радиус частицы, — окружающий поток, — скорость частицы, — угловая скорость окружающего потока, а — угловая скорость частицы. Законы Факсена могут быть обобщены для описания моментов других форм, таких как эллипсоиды, сфероиды и сферические капли.