Кіріспе
Математикалық карта
In mathematics, the tent map with parameter μ is the real valued function fμ defined by
the name being due to the tent like shape of the graph of fμ. For the values of the parameter μ within 0 and 2, fμ maps the unit interval [0, 1] into itself, thus defining a discrete time dynamical system on it (equivalently, a recurrence relation). In particular, iterating a point x0 in [0, 1] gives rise to a sequence :
where μ is a positive real constant. Choosing for instance the parameter μ = 2, the effect of the function fμ may be viewed as the result of the operation of folding the unit interval in two, then stretching the resulting interval [0, 1/2] to get again the interval [0, 1]. Iterating the procedure, any point x0 of the interval assumes new subsequent positions as described above, generating a sequence xn in [0, 1]. The case of the tent map is a non linear transformation of both the bit shift map and the r = 4 case of the logistic map.
Математикада, μ параметрі бар шатыр картасы – fμ графигінің шатыр сияқты пішініне байланысты осылай аталатын, fμ нақты мәнді функциясы. μ параметрінің 0 және 2 аралығындағы мәндері үшін fμ бірлік интервалын [0, 1] өзіне бейімдейді, осылайша оның үстінде дискреттік уақыт динамикалық жүйесін анықтайды (немесе, баламалы түрде, рекурренттік қатынас). Атап айтқанда, [0, 1] аралығындағы x0 нүктесін итерациялау келесі тізбекті тудырады:
In mathematics, the tent map with parameter μ is the real valued function fμ defined by
the name being due to the tent like shape of the graph of fμ. For the values of the parameter μ within 0 and 2, fμ maps the unit interval [0, 1] into itself, thus defining a discrete time dynamical system on it (equivalently, a recurrence relation). In particular, iterating a point x0 in [0, 1] gives rise to a sequence :
where μ is a positive real constant. Choosing for instance the parameter μ = 2, the effect of the function fμ may be viewed as the result of the operation of folding the unit interval in two, then stretching the resulting interval [0, 1/2] to get again the interval [0, 1]. Iterating the procedure, any point x0 of the interval assumes new subsequent positions as described above, generating a sequence xn in [0, 1]. The case of the tent map is a non linear transformation of both the bit shift map and the r = 4 case of the logistic map.
мұнда μ – оң нақты тұрақты сан. Мысалы, μ = 2 параметрін таңдағанда, fμ функциясының әсерін бірлік интервалды екіге бүктеу, содан кейін алынған [0, 1/2] интервалын созу арқылы қайтадан [0, 1] интервалын алу операциясының нәтижесі ретінде қарастыруға болады. Процедураны қайталап, интервалдың кез келген x0 нүктесі жоғарыда сипатталғандай жаңа кезекті позициялар алады, [0, 1] аралығында xn тізбегін құрайды. Шатыр картасының жағдайы – биттік ығыстыру картасының және логистикалық картаның r = 4 жағдайындағы сызықтық емес түрлендіруі болып табылады.
In mathematics, the tent map with parameter μ is the real valued function fμ defined by
the name being due to the tent like shape of the graph of fμ. For the values of the parameter μ within 0 and 2, fμ maps the unit interval [0, 1] into itself, thus defining a discrete time dynamical system on it (equivalently, a recurrence relation). In particular, iterating a point x0 in [0, 1] gives rise to a sequence :
where μ is a positive real constant. Choosing for instance the parameter μ = 2, the effect of the function fμ may be viewed as the result of the operation of folding the unit interval in two, then stretching the resulting interval [0, 1/2] to get again the interval [0, 1]. Iterating the procedure, any point x0 of the interval assumes new subsequent positions as described above, generating a sequence xn in [0, 1]. The case of the tent map is a non linear transformation of both the bit shift map and the r = 4 case of the logistic map.
Мінез-құлық
μ = 2 параметрі бар шатыр картасы және r = 4 параметрі бар логистикалық карта топологиялық тұрғыдан конъюгацияланған, сондықтан екі картаның мінез-құлқы осы мағынада итерация кезінде бірдей. μ мәніне байланысты шатыр картасы болжамдыдан хаотикалыққа дейінгі динамикалық мінез-құлықтың ауқымын көрсетеді. Егер μ 1-ден аз болса, x = 0 нүктесі x-тің барлық бастапқы мәндері үшін жүйенің тартымды тұрақты нүктесі болып табылады, яғни жүйе x = 0-ге x-тің кез келген бастапқы мәнінен қарай жиналады. Егер μ 1 болса, x-тің 1/2-ден кем немесе оған тең барлық мәндері жүйенің тұрақты нүктелері болып табылады. Егер μ 1-ден үлкен болса, жүйеде екі тұрақты нүкте бар, біреуі 0-де, екіншісі μ/(μ + 1) нүктесінде. Екі тұрақты нүкте де тұрақсыз, яғни x-тің кез келген тұрақты нүктеге жақын мәні одан алыстайды, жақындамайды. Мысалы, μ 1,5 болғанда x = 0,6 (өйткені 1,5(1 − 0,6) = 0,6) тұрақты нүкте болады, бірақ x = 0,61-ден бастағанда… Егер μ 1 мен √2 аралығында болса, жүйе μ − μ²/2 және μ/2 аралығындағы аралықтар жиынтығын өзіне бейнелейді. Бұл аралықтар жиынтығы картаның Джулия жиыны болып табылады, яғни ол осы карта астындағы нақты сызықтың ең кішкентай инвариантты жиынтығы. Егер μ √2-ден үлкен болса, бұл аралықтар бірігіп кетеді, ал Джулия жиыны μ − μ²/2 мен μ/2 аралығындағы барлық аралықты құрайды (бифуркация диаграммасын қараңыз). Егер μ 1 мен 2 аралығында болса, [μ − μ²/2, μ/2] аралығында периодты және периодты емес нүктелер бар, бірақ барлық орбиталар тұрақсыз (яғни жақын нүктелер орбиталардан алыстайды, оларға жақындамайды). Орбиталардың ұзындығы μ-нің өсуімен артады. Мысалы: Егер μ 2 болса, жүйе [0, 1] аралығын өзіне бейнелейді. Қазір осы аралықта кез келген орбиталық ұзындығы бар периодты нүктелер де, периодты емес нүктелер де бар. [0, 1] аралығында периодты нүктелер тығыз орналасқан, сондықтан карта хаотикалық болып кетті. Шын мәнінде, динамика иррационалды болған жағдайда ғана периодты емес болады. Мұны картаның екілік түрінде көрсетілгенде не істейтінін қарастыру арқылы көруге болады: ол екілік нүктені бір орынға оңға жылдырады; содан кейін, егер екілік нүктенің сол жағында "бірлік" болса, ол барлық бірліктерді нөлдерге және керісінше ауыстырады (соңғы біт "бірлік" болған жағдайда екілік кеңейтім шекті болса); иррационалды сандан бастап, бұл процесс қайталанбай мәңгі жалғасады. x үшін инвариантты өлшем бірлік аралықтағы біркелкі тығыздық болып табылады. Автокорреляция функциясы жеткілікті ұзын тізбек үшін барлық нөлдік емес кешігулерде нөлдік автокорреляцияны көрсетеді. Осылайша, автокорреляция функциясын пайдалану арқылы оны ақ шудан ажырату мүмкін емес. Логистикалық картаның r = 4 жағдайы мен шатыр картасының μ = 2 жағдайы бір-біріне гомеоморфты екенін ескеріңіз: логистикалық түрленетін айнымалыны x деп белгілесек, гомеоморфизм: Егер μ 2-ден үлкен болса, картаның Джулия жиыны үзіліске ұшырайды және [0, 1] аралығында Кантор жиынына ыдырайды. Джулия жиынында әлі де шексіз көп периодты емес және периодты нүктелер бар (орбитаның кез келген ұзындығы үшін орбиталарды қоса алғанда), бірақ [0, 1] аралығындағы барлық нүктелер енді шексіздікке қарай ауысады. Канондық Кантор жиыны (бірлік сызығының ішкі жиынтықтарының ортаңғы үштен бірін бірінен кейін алып тастау арқылы алынған) μ = 3 үшін шатыр картасының Джулия жиыны болып табылады.
If μ is between 1 and the square root of 2 the system maps a set of intervals between μ − μ2/2 and μ/2 to themselves. This set of intervals is the Julia set of the map – that is, it is the smallest invariant subset of the real line under this map. If μ is greater than the square root of 2, these intervals merge, and the Julia set is the whole interval from μ − μ2/2 to μ/2 (see bifurcation diagram). If μ is between 1 and 2 the interval [μ − μ2/2, μ/2] contains both periodic and non periodic points, although all of the orbits are unstable (i. e. nearby points move away from the orbits rather than towards them). Orbits with longer lengths appear as μ increases. For example:
If μ equals 2 the system maps the interval [0, 1] onto itself. There are now periodic points with every orbit length within this interval, as well as non periodic points. The periodic points are dense in [0, 1], so the map has become chaotic. In fact, the dynamics will be non periodic if and only if is irrational. This can be seen by noting what the map does when is expressed in binary notation: It shifts the binary point one place to the right; then, if what appears to the left of the binary point is a "one" it changes all ones to zeroes and vice versa (with the exception of the final bit "one" in the case of a finite binary expansion); starting from an irrational number, this process goes on forever without repeating itself. The invariant measure for x is the uniform density over the unit interval. The autocorrelation function for a sufficiently long sequence {} will show zero autocorrelation at all non zero lags. Thus cannot be distinguished from white noise using the autocorrelation function. Note that the r = 4 case of the logistic map and the case of the tent map are homeomorphic to each other: Denoting the logistically evolving variable as , the homeomorphism is
If μ is greater than 2 the map's Julia set becomes disconnected, and breaks up into a Cantor set within the interval [0, 1]. The Julia set still contains an infinite number of both non periodic and periodic points (including orbits for any orbit length) but almost every point within [0, 1] will now eventually diverge towards infinity. The canonical Cantor set (obtained by successively deleting middle thirds from subsets of the unit line) is the Julia set of the tent map for μ = 3.
Орбиталық диаграмманы үлкейту
Орбиталық диаграмманы жақын қарастырғанда, μ ≈ 1 шамасында 4 жеке аймақ бар екені көрінеді. Әрі қарай ұлғайту үшін, 2 эталондық сызық (қызыл) ұшынан белгілі бір μ (мысалы, 1.10) мәніндегі тиісті x-ке дейін салынған. Бұл эталондық сызықтардан өлшенген қашықтықтар арқасында картаның жоғарғы және төменгі бөліктерінде қосымша егжей-тегжейлер көрінеді (кейбір μ мәнінде барлығы 8 жеке аймақ).
Асимметриялық шатыр картасы
Асимметриялық шатыр картасы – шатыр картасының бұрмаланған, бірақ әлі де бөліктік сызықтық түрі. Ол келесідей анықталады:
параметр үшін. Шатыр картасының жағдайы – бұл жағдайдың өзі. {} тізбегі экономикадағы хаос, кескіндерді шифрлау, баға белгілеу үшін тәуекел және нарық сезімдері сияқты бірдей автокорреляциялық функцияға ие болады.