Введение
Математическое отображение
In mathematics, the tent map with parameter μ is the real valued function fμ defined by
the name being due to the tent like shape of the graph of fμ. For the values of the parameter μ within 0 and 2, fμ maps the unit interval [0, 1] into itself, thus defining a discrete time dynamical system on it (equivalently, a recurrence relation). In particular, iterating a point x0 in [0, 1] gives rise to a sequence :
where μ is a positive real constant. Choosing for instance the parameter μ = 2, the effect of the function fμ may be viewed as the result of the operation of folding the unit interval in two, then stretching the resulting interval [0, 1/2] to get again the interval [0, 1]. Iterating the procedure, any point x0 of the interval assumes new subsequent positions as described above, generating a sequence xn in [0, 1]. The case of the tent map is a non linear transformation of both the bit shift map and the r = 4 case of the logistic map.
В математике тентовое отображение с параметром μ — это функция вещественного переменного fμ, названная так из-за формы, напоминающей палатку, графика функции fμ. При значениях параметра μ в пределах от 0 до 2, fμ отображает единичный интервал [0, 1] на себя, тем самым определяя на нём дискретную динамическую систему (эквивалентно, рекуррентное соотношение). В частности, итерация точки x0 в [0, 1] порождает последовательность: где μ — положительная вещественная константа. Например, если выбрать параметр μ = 2, то эффект функции fμ можно представить как результат складывания единичного интервала вдвое, а затем растяжения полученного интервала [0, 1/2] до исходного интервала [0, 1]. Повторяя эту процедуру, любая точка x0 интервала последовательно занимает новые положения, как описано выше, генерируя последовательность xn в [0, 1]. Тентовое отображение является нелинейным преобразованием как карты битового сдвига, так и случая r = 4 логистического отображения.
In mathematics, the tent map with parameter μ is the real valued function fμ defined by
the name being due to the tent like shape of the graph of fμ. For the values of the parameter μ within 0 and 2, fμ maps the unit interval [0, 1] into itself, thus defining a discrete time dynamical system on it (equivalently, a recurrence relation). In particular, iterating a point x0 in [0, 1] gives rise to a sequence :
where μ is a positive real constant. Choosing for instance the parameter μ = 2, the effect of the function fμ may be viewed as the result of the operation of folding the unit interval in two, then stretching the resulting interval [0, 1/2] to get again the interval [0, 1]. Iterating the procedure, any point x0 of the interval assumes new subsequent positions as described above, generating a sequence xn in [0, 1]. The case of the tent map is a non linear transformation of both the bit shift map and the r = 4 case of the logistic map.
Поведение
Палатная карта с параметром μ = 2 и логистическая карта с параметром r = 4 топологически сопряжены, и, таким образом, поведение двух карт в этом смысле идентично при итерации. В зависимости от значения μ, палаточная карта демонстрирует широкий спектр динамического поведения, от предсказуемого до хаотического. Если μ меньше 1, точка x = 0 является привлекательной неподвижной точкой системы для всех начальных значений x, то есть система будет сходиться к x = 0 из любой начальной точки x. Если μ равно 1, все значения x, меньшие или равные 1/2, являются неподвижными точками системы. Если μ больше 1, система имеет две неподвижные точки: одна в 0, а другая в μ/(μ + 1). Обе неподвижные точки неустойчивы, то есть значение x, близкое к любой из неподвижных точек, будет удаляться от нее, а не приближаться к ней. Например, когда μ равно 1,5, есть неподвижная точка в x = 0,6 (поскольку 1,5(1 − 0,6) = 0,6), но начиная с x = 0,61, мы получаем:
Если μ находится между 1 и квадратным корнем из 2, система отображает набор интервалов между μ − μ²/2 и μ/2 на самих себя. Этот набор интервалов является множеством Джулии карты, то есть это наименьшее инвариантное подмножество действительной прямой при этом отображении. Если μ больше квадратного корня из 2, эти интервалы сливаются, и множество Джулии представляет собой весь интервал от μ − μ²/2 до μ/2 (см. диаграмму бифуркации). Если μ находится между 1 и 2, интервал [μ − μ²/2, μ/2] содержит как периодические, так и непериодические точки, хотя все орбиты неустойчивы (то есть близлежащие точки удаляются от орбит, а не к ним). Орбиты большей длины появляются с увеличением μ. Например:
Если μ равно 2, система отображает интервал [0, 1] на себя. Теперь в этом интервале существуют периодические точки с любой длиной орбиты, а также непериодические точки. Периодические точки плотно расположены в [0, 1], поэтому карта стала хаотичной. Фактически, динамика будет непериодической тогда и только тогда, когда число является иррациональным. Это можно увидеть, обратив внимание на то, что делает карта, когда число выражено в двоичной системе счисления: она сдвигает двоичную точку на одно место вправо; затем, если слева от двоичной точки стоит "один", она меняет все единицы на нули и наоборот (за исключением последнего бита "один" в случае конечного двоичного разложения); начиная с иррационального числа, этот процесс продолжается бесконечно, не повторяясь. Инвариантная мера для x — это равномерная плотность на единичном интервале. Функция автокорреляции для достаточно длинной последовательности {} покажет нулевую автокорреляцию при всех ненулевых запаздываниях. Таким образом, нельзя отличить от белого шума с помощью функции автокорреляции. Обратите внимание, что случай r = 4 логистической карты и случай палаточной карты гомеоморфны друг другу: обозначая логистически развивающуюся переменную как , гомеоморфизм имеет вид:
Если μ больше 2, множество Джулии карты становится несвязным и распадается на множество Кантора в интервале [0, 1]. Множество Джулии по-прежнему содержит бесконечное количество как непериодических, так и периодических точек (включая орбиты любой длины), но почти каждая точка в пределах [0, 1] в конечном итоге будет уходить в бесконечность. Каноническое множество Кантора (полученное последовательным удалением средних третьей части из подмножеств единичного отрезка) является множеством Джулии палаточной карты для μ = 3.
Увеличение диаграммы орбиты
При более внимательном рассмотрении диаграммы орбит видно, что при μ ≈ 1 выделяется 4 отдельных области. Для дальнейшего увеличения на диаграмме проведены 2 опорные линии (красного цвета) от вершины к соответствующим значениям x при определенном μ (например, 1,10), как показано. Измеряя расстояние от этих опорных линий, можно увидеть больше деталей в верхней и нижней части карты (всего 8 отдельных областей при некоторых значениях μ).
Карта асимметричных палаток
Асимметричная карта палатки по сути является искаженной, но всё ещё кусочно-линейной версией классической карты палатки. Она определяется выражением
для параметра . Классическая карта палатки является частным случаем данной карты. Последовательность {} будет иметь ту же функцию автокорреляции и демонстрирует хаотическое поведение, находящее применение в экономике, шифровании изображений, анализе рисков и рыночных настроений при ценообразовании и т.д.