Үшбұрыш топтары: Жабылулар арқылы геометриялық жүзеге асыру
Triangle group
Үшбұрыш тобы – геометриялық шағылыстар арқылы анықталатын математикалық топ. Еуропалық, сфералық және гиперболалық үшбұрыштарда кездеседі. Тікелей домендерді түсіндіреді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Үшбұрыштың қабырғаларындағы көрістірулер арқылы геометриялық түрде іске асырылған топ – геометриялық ұғым.
Group realized geometrically by reflections across the sides of a triangle
a geometric concept
Математикада үшбұрыштық топ – үшбұрыштың қабырғаларындағы көрістірулер тізбегі арқылы геометриялық түрде іске асырылатын топ. Үшбұрыш қалыпты Евклидтік үшбұрыш, сферадағы үшбұрыш немесе гиперболалық үшбұрыш болуы мүмкін. Әрбір үшбұрыштық топ – Евклид жазықтығының, сфераның немесе гиперболалық жазықтықтың конгруэнтті үшбұрыштармен, Мобиус үшбұрыштарымен кесуінің симметрия тобы, олардың әрқайсысы осы әрекет үшін негізгі домен болып табылады.
In mathematics, a triangle group is a group that can be realized geometrically by sequences of reflections across the sides of a triangle. The triangle can be an ordinary Euclidean triangle, a triangle on the sphere, or a hyperbolic triangle. Each triangle group is the symmetry group of a tiling of the Euclidean plane, the sphere, or the hyperbolic plane by congruent triangles called Möbius triangles, each one a fundamental domain for the action.
Анықтама
l, m, n 2-ге тең немесе одан үлкен бүтін сандар болсын. Δ(l,m,n) үшбұрыш тобы – бұл Евклид жазықтығының, екі өлшемді сфераның, нақты проективтік жазықтықтың немесе гиперболалық жазықтықтың қозғалыстары тобы, ол π/l, π/m және π/n бұрыштары бар үшбұрыштың қабырғаларындағы шағылыстар арқылы туындайды (радиаңдармен өлшенген). Екі іргелес жақтардағы шағылыстардың көбейтіндісі – сол жақтар арасындағы бұрыштың екі еселенген шамасына тең айналу, яғни 2π/l, 2π/m және 2π/n. Сондықтан, егер туындайтын шағылыстар a, b, c деп белгіленсе және олардың арасындағы бұрыштар циклдық ретпен жоғарыда көрсетілгендей болса, онда келесі қатынастар орындалады:
Let l, m, n be integers greater than or equal to 2. A triangle group Δ(l,m,n) is a group of motions of the Euclidean plane, the two dimensional sphere, the real projective plane, or the hyperbolic plane generated by the reflections in the sides of a triangle with angles π/l, π/m and π/n (measured in radians). The product of the reflections in two adjacent sides is a rotation by the angle which is twice the angle between those sides, 2π/l, 2π/m and 2π/n. Therefore, if the generating reflections are labeled a, b, c and the angles between them in the cyclic order are as given above, then the following relations hold:
a, b, c арасындағы барлық басқа қатынастар осы қатынастардың салдары болып табылады және Δ(l,m,n) – сәйкес кеңістіктің дискретті қозғалыстар тобы. Осылайша, үшбұрыш тобы – топтық ұсынылымды қабылдайтын шағылыс тобы.
It is a theorem that all other relations between a, b, c are consequences of these relations and that Δ(l,m,n) is a discrete group of motions of the corresponding space. Thus a triangle group is a reflection group that admits a group presentation
Абстракт топ, осы ұсынылыммен, үш генераторлы Коксет тобы болып табылады.
An abstract group with this presentation is a Coxeter group with three generators.
Жіктеу
Кез келген l, m, n > 1 табиғи сандары үшін, классикалық екі өлшемді геометриялардың (Евклидтік, сфералық немесе гиперболалық) біреуі (π/l, π/m, π/n) бұрыштары бар үшбұрышты қабылдайды, ал кеңістік осы үшбұрыштың көшірмелерімен мозаикаланып жабылады. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы Гаусс-Бонне теоремасы бойынша геометрияның түрін анықтайды: егер бұрыштар қосындысы дәл π-ға тең болса, онда ол Евклидтік, егер π-дан артық болса, сфералық, ал егер π-дан кіші болса, гиперболалық болады. Бұған қоса, берілген бұрыштармен кез келген екі үшбұрыш конгруэнтті болады. Әрбір үшбұрыш тобы мозаиканы анықтайды, ол әдетте екі түспен боялады, сонда кез келген екі іргелес мозаика бөлігінің түстері қарама-қарсы болады. l, m, n > 1 сандары тұрғысынан келесі мүмкіндіктер бар.
Given any natural numbers l, m, n > 1 exactly one of the classical two dimensional geometries (Euclidean, spherical, or hyperbolic) admits a triangle with the angles (π/l, π/m, π/n), and the space is tiled by reflections of the triangle. The sum of the angles of the triangle determines the type of the geometry by the Gauss–Bonnet theorem: it is Euclidean if the angle sum is exactly π, spherical if it exceeds π and hyperbolic if it is strictly smaller than π. Moreover, any two triangles with the given angles are congruent. Each triangle group determines a tiling, which is conventionally colored in two colors, so that any two adjacent tiles have opposite colors. In terms of the numbers l, m, n > 1 there are the following possibilities.
Гиперболалық жағдай
Үшбұрыш тобы – бұрыштарының қосындысы π-ден кем болатын гиперболалық үшбұрыштармен гиперболалық жазықтықтың кесуының шексіз симметрия тобы. Бұрын тізімделмеген барлық үштіктер гиперболалық жазықтықтың кесуін білдіреді. Мысалы, (2,3,7) үштігі (2,3,7) үшбұрыш тобын құрайды. Мұндай топтар шексіз көп; оларға сәйкес кесетін кейбір кіші мәндер:
The triangle group is the infinite symmetry group of a tiling of the hyperbolic plane by hyperbolic triangles whose angles add up to a number less than π. All triples not already listed represent tilings of the hyperbolic plane. For example, the triple (2,3,7) produces the (2,3,7) triangle group. There are infinitely many such groups; the tilings associated with some small values:
Үшін-бірі жабысатын плиткалар
Үшбұрыш топтары үшбұрыштармен мозаиканы сақтайды, атап айтқанда, әрекет үшін негізгі домен (жарық сызықтарымен анықталған үшбұрыш), Мёбиус үшбұрышы деп аталады және (l,m,n) бүтін сандардың үштігімен беріледі, мұнда бүтін сандар (2l,2m,2n) үшбұрыштары бір төбеде жиналады. Сонымен қатар, бір-бірін жабатын үшбұрыштармен мозаикалар да бар, олар рационал сандармен (l/a, m/b, n/c) берілген Шварц үшбұрыштарына сәйкес келеді, мұнда алымдар және бөлімдер өзара жай. Бұл aπ/l бұрыштарымен жиектердің кездесуіне сәйкес келеді (сәйкесінше), бұл 2aπ/l айналысына сәйкес келеді (сәйкесінше), ол l ретіне ие және абстрактілі топ элементі ретінде бірдей, бірақ бейнеленгенде ерекшеленеді. Мысалы, Шварц үшбұрышы (2 3 3) сфераның 1 тығыздықпен мозаикасын береді, ал үшбұрышы (2 3/2 3) сфераның 3 тығыздықпен мозаикасын береді, бірақ бірдей абстрактілі топқа ие. Мұндай бір-бірін жабатын мозаикалардың симметриялары үшбұрыш топтары деп қарастырылмайды.
Triangle groups preserve a tiling by triangles, namely a fundamental domain for the action (the triangle defined by the lines of reflection), called a Möbius triangle, and are given by a triple of integers, (l,m,n), – integers correspond to (2l,2m,2n) triangles coming together at a vertex. There are also tilings by overlapping triangles, which correspond to Schwarz triangles with rational numbers (l/a,m/b,n/c), where the denominators are coprime to the numerators. This corresponds to edges meeting at angles of aπ/l (resp. ), which corresponds to a rotation of 2aπ/l (resp. ), which has order l and is thus identical as an abstract group element, but distinct when represented by a reflection. For example, the Schwarz triangle (2 3 3) yields a density 1 tiling of the sphere, while the triangle (2 3/2 3) yields a density 3 tiling of the sphere, but with the same abstract group. These symmetries of overlapping tilings are not considered triangle groups.
Тарих
Үшбұрыш топтары кем дегенде 1856 жылы Уильям Роуэн Гамильтонның икосаэдрлік топты (айналмалы) (2,3,5) үшбұрыш тобы ретінде көрсетуіне дейін бар еді, бұл оның икосиандық есептеулер туралы мақаласында жарияланған.
Triangle groups date at least to the presentation of the icosahedral group as the (rotational) (2,3,5) triangle group by William Rowan Hamilton in 1856, in his paper on icosian calculus.
Қолданбалар
Үшбұрышты топтар арифметикалық геометрияда кездеседі. Модульдік топ екі элемент – S және T арқылы құрастырылады, олар S² = (ST)³ = 1 қатынасын қанағаттандырады (T үшін ешқандай қатынас жоқ), бұл (2,3,∞) айналмалы үшбұрыш тобы болып табылады және Tn = 1 қатынасын қосу арқылы барлық (2,3,n) үшбұрыш топтарына проекцияланады. Көбірек айтқанда, Хекке тобы Hq екі элемент – S және T арқылы құрастырылады, олар S² = (ST)q = 1 қатынасын қанағаттандырады (T үшін ешқандай қатынас жоқ), бұл (2,q,∞) айналмалы үшбұрыш тобы болып табылады және Tn = 1 қатынасын қосу арқылы барлық (2,q,n) үшбұрыш топтарына проекцияланады. Модульдік топ – Хекке тобы H3. Гротендиктің «балалар суреттері» теориясында Белий функциясы үшбұрышты топтың шағылысу домендері арқылы Риман бетінің мозаикасын тудырады. Барлық 26 спорадикалық топ үшбұрышты топтардың факторлары болып табылады, олардың 12-сі Хурвиц топтары (2,3,7) тобының факторлары).
Triangle groups arise in arithmetic geometry. The modular group is generated by two elements, S and T, subject to the relations S² = (ST)³ = 1 (no relation on T), is the rotational triangle group (2,3,∞) and maps onto all triangle groups (2,3,n) by adding the relation Tn = 1. More generally, the Hecke group Hq is generated by two elements, S and T, subject to the relations S2 = (ST)q = 1 (no relation on T), is the rotational triangle group (2,q,∞), and maps onto all triangle groups (2,q,n) by adding the relation Tn = 1 the modular group is the Hecke group H3. In Grothendieck's theory of dessins d'enfants, a Belyi function gives rise to a tessellation of a Riemann surface by reflection domains of a triangle group. All 26 sporadic groups are quotients of triangle groups, of which 12 are Hurwitz groups (quotients of the (2,3,7) group).