Введение

Группа, геометрически реализуемая отражениями относительно сторон треугольника – геометрическое понятие.

В математике треугольная группа — это группа, которая может быть геометрически реализована последовательностями отражений относительно сторон треугольника. Треугольник может быть обычным евклидовым треугольником, треугольником на сфере или гиперболическим треугольником. Каждая треугольная группа является группой симметрии разбиения евклидовой плоскости, сферы или гиперболической плоскости конгруэнтными треугольниками, называемыми треугольниками Мёбиуса, каждый из которых представляет собой фундаментальную область действия.

Определение

Пусть l, m, n – целые числа, большие или равные 2. Треугольная группа Δ(l, m, n) – это группа движений евклидовой плоскости, двумерной сферы, вещественной проективной плоскости или гиперболической плоскости, порожденная отражениями относительно сторон треугольника с углами π/l, π/m и π/n (измеряемыми в радианах). Произведение отражений в двух смежных сторонах является вращением на угол, вдвое превышающий угол между этими сторонами, то есть 2π/l, 2π/m и 2π/n. Следовательно, если порождающие отражения обозначены a, b, c, а углы между ними в циклическом порядке заданы, как указано выше, то выполняются следующие соотношения:

Это теорема о том, что все остальные соотношения между a, b, c являются следствием этих соотношений, и что Δ(l, m, n) является дискретной группой движений соответствующего пространства. Таким образом, треугольная группа – это группа отражений, допускающая групповую презентацию. Абстрактная группа с этой презентацией является группой Коксетера с тремя образующими.

Классификация

При любых натуральных числах l, m, n > 1 ровно одна из классических двумерных геометрий (евклидова, сферическая или гиперболическая) допускает треугольник с углами (π/l, π/m, π/n), и пространство покрывается отражениями этого треугольника. Сумма углов треугольника определяет тип геометрии согласно теореме Гаусса — Бонне: она евклидова, если сумма углов равна π, сферическая, если она больше π, и гиперболическая, если она строго меньше π. Более того, любые два треугольника с заданными углами конгруэнтны. Каждая треугольная группа определяет мощение, которое обычно раскрашивается в два цвета так, что любые две соседние ячейки мощения имеют противоположные цвета. В зависимости от чисел l, m, n > 1 существуют следующие возможности.

Гиперболический случай

Треугольная группа — это бесконечная группа симметрий замощения гиперболической плоскости гиперболическими треугольниками, сумма углов которых меньше π. Любые тройки, не указанные выше, соответствуют замощениям гиперболической плоскости. Например, тройка (2,3,7) порождает треугольную группу (2,3,7). Существует бесконечно много таких групп; замощения, соответствующие некоторым малым значениям:

Перекрывающиеся плитки

Треугольные группы сохраняют мощение треугольниками, а именно фундаментальную область действия (треугольник, определяемый линиями отражения), называемый треугольником Мёбиуса, и задаются тройкой целых чисел (l, m, n), где целые числа соответствуют (2l, 2m, 2n) треугольникам, сходящимся в вершине. Существуют также мощения, состоящие из перекрывающихся треугольников, которые соответствуют треугольникам Шварца с рациональными числами (l/a, m/b, n/c), где знаменатели взаимно просты с числителями. Это соответствует сторонам, встречающимся под углом aπ/l (соответственно), что соответствует вращению на 2aπ/l (соответственно), имеющему порядок l и, таким образом, являющемуся идентичным как абстрактный элемент группы, но различным при представлении отражением. Например, треугольник Шварца (2 3 3) дает мощение сферы плотностью 1, в то время как треугольник (2 3/2 3) дает мощение сферы плотностью 3, но с той же абстрактной группой. Эти симметрии перекрывающихся мощений не рассматриваются как группы треугольников.

История

Треугольные группы возникли как минимум с момента представления икосаэдрической группы в виде (вращательной) треугольной группы (2,3,5) Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его работе об икосианском анализе.

Приложения

Треугольные группы возникают в арифметической геометрии. Модульная группа порождается двумя элементами, S и T, при условиях S² = (ST)³ = 1 (ограничений на T нет), является вращательной треугольной группой (2,3,∞) и отображается на все треугольные группы (2,3,n) добавлением соотношения Tn = 1. В более общем случае, группа Гекке Hq порождается двумя элементами, S и T, при условиях S² = (ST)q = 1 (ограничений на T нет), является вращательной треугольной группой (2,q,∞) и отображается на все треугольные группы (2,q,n) добавлением соотношения Tn = 1. Модульная группа является группой Гекке H3. В теории дессенов д’анфан Гротендика функция Белый порождает разбиение поверхности Римана на области отражения треугольной группы. Все 26 спорадических групп являются факторгруппами треугольных групп, из которых 12 являются группами Гурвица (факторгруппами группы (2,3,7)).