Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Асимптотикалық түрде уақыт тәрізді Киллинг векторына ие кеңістік-уақыт.
Spacetime that admits a Killing vector that is asymptotically timelike
Жалпы салыстырмалылық теориясында, әсіресе Эйнштейннің өріс теңдеулерінде, егер кеңістік-уақыт асимптотикалық түрде уақыт тәрізді Киллинг векторына ие болса, ол тұрақты деп аталады.
In general relativity, specifically in the Einstein field equations, a spacetime is said to be stationary if it admits a Killing vector that is asymptotically timelike.
Сипаттама және талдау
Тұрақты кеңістік-уақытта метрикалық тензор компоненттерін , уақыт координатына тәуелсіз болу үшін таңдауға болады. Тұрақты кеңістік-уақыттың сызықтық элементінің формасы келесідей:
In a stationary spacetime, the metric tensor components, , may be chosen so that they are all independent of the time coordinate. The line element of a stationary spacetime has the form
мұнда – уақыт координатасы, – үш кеңістіктік координаталар және – 3 өлшемді кеңістіктің метрикалық тензоры. Бұл координаттар жүйесінде Киллинг векторлық өрісінің компоненттері тең болады, мұнда – Киллинг векторының нормасын білдіретін оң скаляр, яғни , ал – бұрылыс векторы деп аталатын 3 вектор, Киллинг векторы гипербеттік ортогоналды болғанда нөлге тең болады. Соңғысы бұрылыс 4 векторының кеңістіктік компоненттері болып табылады (мысалы, 163-бетті қараңыз), ол Киллинг векторына ортогоналды, яғни шарты орындалады. Бұрылыс векторы Киллинг векторының 3 беттер отбасына ортогоналды болмау дәрежесін көрсетеді. Бұрылыс нөлден өзгеше болса, кеңістік-уақыт геометриясында айналу бар екенін көрсетеді. Жоғарыда сипатталған координаттық бейнелеудің қызықты геометриялық түсіндірмесі бар. Уақыт бойынша аударма Киллинг векторы кеңістік-уақытта бір параметрлік қозғалыс тобын жасайды. Белгілі бір траекторияда (немесе орбитада) жатқан кеңістік-уақыт нүктелерін сәйкестендіру арқылы 3 өлшемді кеңістік (Киллинг траекторияларының жиынтығы) – бөліктелген кеңістік алынады. Бұл сәйкестендіру, канондық проекция деп аталады, ол әрбір траекторияны бір нүктеге бейнелейді және кері шегіну арқылы үстінде метриканы туындайды. , және шамаларының бәрі үстіндегі өрістер болып табылады және демек, уақытқа тәуелсіз. Осылайша, тұрақты кеңістік-уақыттың геометриясы уақыт бойынша өзгермейді. Ерекше жағдайда кеңістік-уақыт статикалық деп аталады. Анықтама бойынша, әрбір статикалық кеңістік-уақыт тұрақты, бірақ керісінше әдетте дұрыс емес, өйткені Керр метрикасы кері мысал келтіреді.
where is the time coordinate, are the three spatial coordinates and is the metric tensor of 3 dimensional space. In this coordinate system the Killing vector field has the components is a positive scalar representing the norm of the Killing vector, i. e., , and is a 3 vector, called the twist vector, which vanishes when the Killing vector is hypersurface orthogonal. The latter arises as the spatial components of the twist 4 vector (see, for example, p. 163) which is orthogonal to the Killing vector , i. e., satisfies The twist vector measures the extent to which the Killing vector fails to be orthogonal to a family of 3 surfaces. A non zero twist indicates the presence of rotation in the spacetime geometry. The coordinate representation described above has an interesting geometrical interpretation. The time translation Killing vector generates a one parameter group of motion in the spacetime By identifying the spacetime points that lie on a particular trajectory (also called orbit) one gets a 3 dimensional space (the manifold of Killing trajectories) , the quotient space. Each point of represents a trajectory in the spacetime This identification, called a canonical projection, is a mapping that sends each trajectory in onto a point in and induces a metric on via pullback. The quantities , and are all fields on and are consequently independent of time. Thus, the geometry of a stationary spacetime does not change in time. In the special case the spacetime is said to be static. By definition, every static spacetime is stationary, but the converse is not generally true, as the Kerr metric provides a counterexample.