Стационарные пространства-времена в общей теории относительности
Stationary spacetime
Стационарное пространство-время в общей теории относительности: определение, метрика, вектор Киллинга и его свойства (асимптотически временноподобный).
Spacetime that admits a Killing vector that is asymptotically timelike
В общей теории относительности, в частности, в уравнениях Эйнштейна, пространство-время считается стационарным, если оно допускает вектор Киллинга, асимптотически темпоподобный.
In general relativity, specifically in the Einstein field equations, a spacetime is said to be stationary if it admits a Killing vector that is asymptotically timelike.
Описание и анализ
В стационарном пространстве-времени компоненты метрического тензора, , могут быть выбраны таким образом, чтобы они не зависели от временной координаты. Элемент линейной кривизны стационарного пространства-времени имеет вид:
In a stationary spacetime, the metric tensor components, , may be chosen so that they are all independent of the time coordinate. The line element of a stationary spacetime has the form
где – временная координата, – три пространственные координаты, а – метрический тензор трехмерного пространства. В этой системе координат поле Киллинга имеет компоненты , где – положительный скаляр, представляющий норму вектора Киллинга, то есть , а – трехмерный вектор, называемый вектором скручивания, который обращается в нуль, когда вектор Киллинга является ортогональным к гиперповерхности. Последний возникает как пространственные компоненты четырехмерного вектора скручивания (см., например, стр. 163), который ортогонален вектору Киллинга, то есть удовлетворяет условию . Вектор скручивания измеряет степень, в которой вектор Киллинга не является ортогональным семейству трехмерных поверхностей. Ненулевой скручивание указывает на наличие вращения в геометрии пространства-времени. Описанное выше координатное представление имеет интересную геометрическую интерпретацию. Вектор Киллинга, соответствующий трансляции во времени, генерирует однопараметрическую группу движений в пространстве-времени. Отождествляя точки пространства-времени, лежащие на конкретной траектории (также называемой орбитой), получаем трехмерное пространство (множество траекторий Киллинга), пространство-частное. Каждая точка представляет собой траекторию в пространстве-времени . Эта идентификация, называемая канонической проекцией, является отображением, которое переводит каждую траекторию в в точку в и индуцирует метрику на через откат. Величины , и являются полями на и, следовательно, не зависят от времени. Таким образом, геометрия стационарного пространства-времени не изменяется во времени. В частном случае пространство-время называется статическим. По определению, каждое статическое пространство-время является стационарным, но обратное не всегда верно, как показывает контрпример в виде метрики Керра.
where is the time coordinate, are the three spatial coordinates and is the metric tensor of 3 dimensional space. In this coordinate system the Killing vector field has the components is a positive scalar representing the norm of the Killing vector, i. e., , and is a 3 vector, called the twist vector, which vanishes when the Killing vector is hypersurface orthogonal. The latter arises as the spatial components of the twist 4 vector (see, for example, p. 163) which is orthogonal to the Killing vector , i. e., satisfies The twist vector measures the extent to which the Killing vector fails to be orthogonal to a family of 3 surfaces. A non zero twist indicates the presence of rotation in the spacetime geometry. The coordinate representation described above has an interesting geometrical interpretation. The time translation Killing vector generates a one parameter group of motion in the spacetime By identifying the spacetime points that lie on a particular trajectory (also called orbit) one gets a 3 dimensional space (the manifold of Killing trajectories) , the quotient space. Each point of represents a trajectory in the spacetime This identification, called a canonical projection, is a mapping that sends each trajectory in onto a point in and induces a metric on via pullback. The quantities , and are all fields on and are consequently independent of time. Thus, the geometry of a stationary spacetime does not change in time. In the special case the spacetime is said to be static. By definition, every static spacetime is stationary, but the converse is not generally true, as the Kerr metric provides a counterexample.