Кіріспе

Эйнштейн өрісі теңдеулерінің шешімі

Гёдель метрикасы, сондай-ақ Гёдель шешімі немесе Гёдель ғаламы деп аталады, 1949 жылы Курт Гёдель тапқан Эйнштейн өрісі теңдеулерінің нақты шешімі. Бұл шешімдегі стресс-энергия тензоры екі мүшеден тұрады: біріншісі – айналмалы шаң бөлшектерінің біртекті таралуының материя тығыздығын көрсетеді (шаң ерітіндісін қараңыз), ал екіншісі – теріс космологиялық тұрақтымен байланысты (Ламбдавакуум ерітіндісін қараңыз). Бұл шешімнің көптеген ерекше қасиеттері бар, әсіресе, шешіммен сипатталатын ғаламшарда уақыт саяхатына мүмкіндік беретін жабық уақыт тәрізді қисықтардың болуы. Оның анықтамасы шамалы жасанды, себебі космологиялық тұрақтының шаң бөлшектерінің тығыздығына сәйкес келуі үшін мәні сақтықпен таңдалуы тиіс, бірақ бұл кеңістік-уақыт маңызды оқу-әдістемелік мысал болып табылады.

Анықтама

Басқа Лоренц кеңістігіндегі уақыт сияқты, Гёдель шешімі метрикалық тензорды жергілікті координаттар кестесі арқылы көрсетеді. Гёдель әлемін цилиндрлік координаттар жүйесін (төменде көрсетілгендей) қолдану арқылы түсіну оңайырақ болуы мүмкін, бірақ бұл мақалада Гёдель бастапқыда қолданған кесте пайдаланылады. Осы кестеде метрика (немесе, эквивалентті түрде, сызық элементі) келесідей:

мұндағы – нөлден өзге нақты тұрақты сан, ол y осьіне қатысты қоршаған шаң бөлшектерінің бұрыштық жылдамдығын көрсетеді, бұл жылдамдық шаң бөлшектерінің бірімен бірге қозғалатын "айналмайтын" бақылаушымен өлшенген. "Айналмайтын" дегеніміз – бақылаушы центробектік күшті сезінбейді, бірақ осы координаттар жүйесінде ол y осьіне параллель осьтің бойымен айналады. Осы айналатын жүйеде шаң бөлшектері x, y және z координаталарының тұрақты мәндерінде қалады. Олардың тығыздығы осы координаттар кестесінде x-тің өсуімен артады, бірақ олардың өздерінің анықтамалық жүйелерінде тығыздық әрқашан бірдей болып қалады.

Топология

Гёдель кеңістігі – Эйнштейн өрісі теңдеулерінің ерекше, сингулярлықсыз (ретсіздіксіз) шешімінің сирек кездесетін мысалы. Гёдельдің бастапқы координат жүйесі геодезиялық тұрғыдан толық және сингулярлықтардан бос. Осылайша, ол ғаламдық координат жүйесі болып табылады, ал кеңістік-уақыт R4-ке гомеоморфты, демек, жай байланысты.

Оптикалық әсерлер

Егер белгілі бір бақылаушының өткен жарық конусы зерттелсе, нөлдік геодезиялықтар бақылаушыға қарай ортогональды түрде спиральмен ішке қарай қозғалатыны анықталады, сондықтан егер радиалды бағытта қараса, басқа шаң бөлшектері уақыт бойынша кешіккен позицияларда көрінеді. Дегенмен, шешім тұрақты болғандықтан, шаң бөлшегімен бірге қозалған бақылаушы басқа бөлшектердің өзін айналып жатқанын көрмейді. Алайда, жоғарыда көрсетілген бірінші координат жүйесі (the) диаграммада тұрақты көрінсе де, Ферми-Уокер туындылары оның гироскоптарға қатысты айналып жатқанын көрсетеді. Екінші координат жүйесі (the) диаграммада айналып жатқандай көрінеді, бірақ ол гиростабилизацияланған, ал шаң бөлшегімен бірге жүретін айналмасыз инерциялық бақылаушы басқа шаң бөлшектерінің өзінің симметрия осі бойынша белгілі бір бұрыштық жылдамдықпен сағат тілімен айналып жатқанын көреді. Бұдан басқа, оптикалық бейнелер айналу бағытында кеңейіп, деформацияланады. Егер айналмасыз инерциялық бақылаушы өзінің симметрия осі бойымен қараса, ол өзімен бір осьтегі айналмасыз инерциялық бақылаушыларды күтілгендей, өзіне қатысты айналмайтын болып көреді.

Абсолюттік болашақтың пішіні

Хокинг пен Эллистің айтуынша, бұл кеңістік-уақыттың тағы бір ерекшелігі – егер маңызсыз y координатасын ескермесек, берілген шаң бөлшегінің әлем сызығындағы оқиғадан шыққан жарық спираль тәрізді сыртқа қарай айналып, дөңгелек түйін құрайды, содан кейін спиральмен ішке қарай айналып, бастапқы шаң бөлшегінің әлем сызығындағы кейінгі оқиғада қайта жиналады. Бұл, ортогональ бағытқа қарайтын бақылаушылар тек шектеулі қашықтықты ғана көре алатынын, сонымен қатар өздерін бұрынғы уақытта көре алатынын білдіреді. Түйін – геодезиялық емес, жабық нөлдік қисық. (Төмендегі егжей-тегжейлі талқылауды басқа координаттар жүйесін пайдаланып қараңыз).

Жалпы гиперболалық емес

Егер Гёдель кеңістігі-уақыты шекарасы жоқ уақыт гиперкөліктерін (мысалы, Коши бетін) қабылдаса, кез келген мұндай CTC оны тақ сан рет кесіп өтуі керек, бұл кеңістік-уақыттың қарапайым байланысты екендігімен қайшы келеді. Сондықтан, бұл кеңістік-уақыт ғаламдық гиперболалық емес.

Цилиндрлік диаграмма

Бұл бөлімде біз Гёдель шешімі үшін тағы бір координаттық диаграммасын таныстырамыз, онда жоғарыда айтылған кейбір ерекшеліктерді көру оңайырақ.

Жабық уақытқа ұқсас қисықтардың конгруенциясы

Критикалық радиуста векторлық өріс нөлге теңеледі. Одан үлкен радиустар үшін ол уақыт тәрізді болады. Осылайша, біздің симметрия осіне сәйкес келетін уақыт тәрізді конгруенция шеңберлерден құралған және белгілі бір бақылаушыларға сәйкес келеді. Алайда, бұл конгруенция тек цилиндрдің сыртында ғана анықталған. Бұл геодезиялық конгруенция емес; керісінше, осы топтағы әрбір бақылаушы өз бағытын сақтау үшін тұрақты үдеуді сақтауы керек. Кіші радиустағы бақылаушылар күштірек үдеуге ие болуы керек; үдеудің шамасы шексіздікке ұмтылады, бұл күтілгендей, өйткені бұл нөлдік қисық.