Введение

Решение уравнений поля Эйнштейна

Метрика Гёделя, также известная как решение Гёделя или Вселенная Гёделя, является точным решением уравнений поля Эйнштейна, найденным в 1949 году Куртом Гёделем, в котором тензор энергии-импульса содержит два члена: первый представляет плотность вещества однородного распределения вращающихся пылевых частиц (см. решение для пыли), а второй связан с отрицательной космологической постоянной (см. решение для лямбда-вакуума). Это решение обладает множеством необычных свойств, в частности, существованием замкнутых времениподобных кривых, которые позволили бы путешествовать во времени во вселенной, описываемой этим решением. Его определение несколько искусственно, поскольку значение космологической постоянной должно быть тщательно подобрано для соответствия плотности пылевых зерен, однако это пространство-время является важным дидактическим примером.

Определение

Как и любое другое лоренцево пространство-время, решение Гёделя представляет метрический тензор в терминах локальной координатной сетки. Возможно, проще всего понять Вселенную Гёделя, используя цилиндрическую систему координат (см. ниже), но в данной статье используется координатная сетка, первоначально использованная Гёделем. В этой сетке метрика (или, эквивалентно, элемент длины) имеет вид

где – ненулевая вещественная постоянная, определяющая угловую скорость окружающих пылевых частиц относительно оси y, измеренную "невращающимся" наблюдателем, движущимся вместе с одной из пылевых частиц. "Невращающийся" означает, что наблюдатель не испытывает центробежных сил, однако в этой системе координат он вращается вокруг оси, параллельной оси y. В этой вращающейся системе отсчета пылевые частицы остаются на постоянных значениях x, y и z. Их плотность на этой координатной диаграмме возрастает с увеличением x, но их плотность в собственной системе отсчета одинакова во всех точках.

Топология

Годельское пространство-время – редкий пример регулярного (не содержащего сингулярностей) решения уравнений поля Эйнштейна. Оригинальная система координат Гёделя геодезически полна и свободна от сингулярностей. Следовательно, это глобальная система координат, и пространство-время гомеоморфно R⁴, а значит, простосвязно.

Оптические эффекты

Если изучать световой конус прошлого данного наблюдателя, можно обнаружить, что нулевые геодезические, движущиеся ортогонально, спирально сближаются к наблюдателю, так что при радиальном взгляде другие пылинки видны со всё большим временным отставанием. Однако, поскольку решение стационарно, может показаться, что наблюдатель, находящийся на пылинке, не увидит вращения других пылинок вокруг себя. Но следует помнить, что хотя первая система координат, описанная выше (the), кажется статической на диаграмме, производные Ферми — Уокера показывают, что она вращается относительно гироскопов. Вторая система координат (the) кажется вращающейся на диаграмме, но она гироскопически стабилизирована, и невращающийся инерциальный наблюдатель, находящийся на пылинке, действительно увидит, что другие пылинки вращаются по часовой стрелке с угловой скоростью вокруг его оси симметрии. Более того, оказывается, что оптические изображения растягиваются и сдвигаются в направлении вращения. Если невращающийся инерциальный наблюдатель смотрит вдоль своей оси симметрии, он увидит, что его коаксиальные невращающиеся инерциальные коллеги кажутся неподвижными относительно него, что и следовало ожидать.

Форма абсолютного будущего

По словам Хокинга и Эллиса, еще одной замечательной особенностью этого пространства-времени является то, что при исключении несущественной координаты y свет, испущенный в момент на мировой линии данной частицы пыли, раскручивается наружу в спираль, формирует круговую точку возврата, затем раскручивается внутрь и снова сходится в последующем моменте на мировой линии исходной частицы пыли. Это означает, что наблюдатели, смотрящие перпендикулярно направлению распространения, могут видеть лишь на конечном расстоянии, а также видеть себя в прошлом. Точка возврата представляет собой незамкнутую геодезическую нулевую кривую. (Подробное обсуждение приведено ниже с использованием альтернальной системы координат.)

Глобально не гиперболический

Если бы пространство-время Гёделя допускало какие-либо временные гиперповерхности без границы (например, поверхность Коши), любая такая замкнутая времениподобная кривая должна была бы пересекать её нечётное число раз, что противоречит тому факту, что пространство-время односвязно. Следовательно, данное пространство-время не является глобально гиперболическим.

Цилиндрическая диаграмма

В этом разделе мы вводим другую систему координат для решения Гёделя, в которой некоторые из вышеупомянутых особенностей становятся более наглядными.

Конгруэнция закрытых временных кривых

В критическом радиусе векторное поле обращается в нуль. При больших радиусах оно становится времениподобным. Таким образом, нашей оси симметрии соответствует времениподобная конгруэнция, состоящая из окружностей и представляющая собой совокупность определенных наблюдателей. Однако эта конгруэнция определена только вне цилиндра.

Это не геодезическая конгруэнция; скорее, каждый наблюдатель в этом семействе должен поддерживать постоянное ускорение, чтобы сохранять направление движения. Наблюдатели с меньшим радиусом должны ускоряться сильнее, поскольку величина ускорения стремится к бесконечности, что и ожидается, учитывая, что это нулевая кривая.