Кіріспе
Сызықтық емес басқару жүйесі талдауында қолданылатын визуализация. Қолданбалы математикада, әсіресе сызықтық емес жүйелерді талдауда, фазалық жазықтық – белгілі бір дифференциалдық теңдеулердің кейбір ерекшеліктерін визуальды түрде көрсету құралы; координаттық жазықтық, мұнда осьтер екі күй айнымалысының мәндерін көрсетеді, мысалы (x, y) немесе (q, p) сияқты (кез келген екі айнымалы жұбы). Бұл жалпы n-өлшемді фазалық кеңістіктің екі өлшемді жағдайы. Фазалық жазықтық әдісі дифференциалдық теңдеу шешімдеріндегі лимит циклдердің болуын графикалық жолмен анықтауға мүмкіндік береді. Дифференциалдық теңдеудің шешімдері – функциялар жиынтығы. Графикалық түрде мұны фазалық жазықтықта екі өлшемді векторлық өріс ретінде бейнелеуге болады. Өкілдік нүктелердегі параметрге (мысалы, t уақытына) қатысты туындыларды көрсететін векторлар, яғни (dx/dt, dy/dt) салынады. Мұндай жебелердің жеткілікті саны болғанда, жүйенің мінез-құлқы талданатын жазықтықтың аймақтарында визуализацияланып, лимит циклдерді анықтау оңай болады. Бүкіл өріс – фазалық портрет, ал ағын сызығы бойымен алынған нақты жол (яғни, векторларға әрдайым жанасатын жол) – фазалық траектория. Векторлық өрістегі ағымдар дифференциалдық теңдеу сипаттайтын жүйенің уақыт бойынша өзгеруін көрсетеді. Осылайша, фазалық жазықтық физикалық жүйелердің мінез-құлқын визуализациялау үшін пайдалы, әсіресе, осцилляциялық жүйелерді, мысалы, тоңдастырушы-жемқор модельдерін (Lotka–Volterra теңдеулеріне қараңыз). Бұл модельдерде фазалық траекториялар нөлге қарай «спираль тәрізді» айналуы, шексіздікке қарай «спираль тәрізді» айналуы немесе «орталықтар» деп аталатын бейтарап тұрақты жағдайларға жетуі мүмкін, онда траектория дөңгелек, эллипс немесе жұмыртқа тәрізді болуы мүмкін, сондай-ақ олардың басқа да түрлері кездеседі. Бұл динамиканың тұрақтылығын анықтауға көмектеседі. Осцилляциялық жүйелердің басқа мысалдары – бірнеше қадамдардан тұратын химиялық реакциялар, олардың кейбіреулері толыққанды реакциялар емес, динамикалық тепе-теңдіктерді қамтиды. Мұндай жағдайларда, реактивтер мен өнімдердің концентрациясының (немесе массаның немесе зат мөлшерінің) өсуі мен төмендеуін дұрыс дифференциалдық теңдеулермен және химиялық кинетиканы жақсы түсіну арқылы модельдеуге болады.
In applied mathematics, in particular the context of nonlinear system analysis, a phase plane is a visual display of certain characteristics of certain kinds of differential equations; a coordinate plane with axes being the values of the two state variables, say (x, y), or (q, p) etc. (any pair of variables). It is a two dimensional case of the general n dimensional phase space. The phase plane method refers to graphically determining the existence of limit cycles in the solutions of the differential equation. The solutions to the differential equation are a family of functions. Graphically, this can be plotted in the phase plane like a two dimensional vector field. Vectors representing the derivatives of the points with respect to a parameter (say time t), that is (dx/dt, dy/dt), at representative points are drawn. With enough of these arrows in place the system behaviour over the regions of plane in analysis can be visualized and limit cycles can be easily identified. The entire field is the phase portrait, a particular path taken along a flow line (i. e. a path always tangent to the vectors) is a phase path. The flows in the vector field indicate the time evolution of the system the differential equation describes. In this way, phase planes are useful in visualizing the behaviour of physical systems; in particular, of oscillatory systems such as predator prey models (see Lotka–Volterra equations). In these models the phase paths can "spiral in" towards zero, "spiral out" towards infinity, or reach neutrally stable situations called centres where the path traced out can be either circular, elliptical, or ovoid, or some variant thereof. This is useful in determining if the dynamics are stable or not. Other examples of oscillatory systems are certain chemical reactions with multiple steps, some of which involve dynamic equilibria rather than reactions that go to completion. In such cases one can model the rise and fall of reactant and product concentration (or mass, or amount of substance) with the correct differential equations and a good understanding of chemical kinetics.
Өздік векторлар мен тораптар
Эгенвекторлар және түйіндер фазалық жолдардың пішінін анықтайды, бұл динамикалық жүйе шешімінің графикалық интерпретациясын ұсынады, келесідей көрсетілгендей. Фазалық жазықтық екі эгенвекторды бейнелейтін түзу сызықтарды салу арқылы бастап құрылады (бұл жүйе осы сызықтарға қарай жиналатын немесе олардан алшақтайтын тұрақты жағдайларды көрсетеді). Содан кейін, бағыт өрісінің нүктелі сызықтарының орнына, фазалық жазықтық толық сызықтармен салынады. Өздік мәндердің таңбалары фазалық жазықтықтың қалай өзгеретінін көрсетеді: Егер таңбалар қарама-қарсы болса, эгенвекторлардың қиылысы шегініс нүктесі болады. Егер екі таңба да оң болса, эгенвекторлар жүйе алшақтайтын тұрақты жағдайларды көрсетеді, ал қиылысу орны – тұрақсыз түйін. Егер екі таңба да теріс болса, эгенвекторлар жүйе жиналатын тұрақты жағдайларды көрсетеді, ал қиылысу орны – тұрақты түйін. Жоғарыда айтылғандарды дифференциалдық теңдеулер шешімдеріндегі экспоненциалдық мүшелердің қасиеттерін еске түсіру арқылы көруге болады.
If the signs are opposite, the intersection of the eigenvectors is a saddle point. If the signs are both positive, the eigenvectors represent stable situations that the system diverges away from, and the intersection is an unstable node. If the signs are both negative, the eigenvectors represent stable situations that the system converges towards, and the intersection is a stable node. The above can be visualized by recalling the behaviour of exponential terms in differential equation solutions.
Қайталанатын өзіндік мәндер
Бұл мысал тек нақты, бөлек өзіндік мәндер жағдайын қамтиды. Нақты, қайталанатын өзіндік мәндерді шешу үшін екі еселік жүйенің екінші шешімін табуға белгісіз вектор және бірінші өзіндік вектормен коэффициент матрицасын қолдану қажет. Дегенмен, егер матрица симметриялық болса, екінші шешімді алу үшін ортогональды өзіндік векторды пайдалануға болады.
Күрделі өзіндік мәндер
Күрделі өзіндік мәндер мен өзіндік векторлар шешімдерді синус және косинус қатарлы экспоненталар түрінде тудырады. Осы жағдайдағы қарапайымдылықтың бірі – жүйеге толық шешім жиынтығын құру үшін тек бір өзіндік мән және бір өзіндік вектор ғана қажет.