Введение
Визуальное представление, используемое в анализе нелинейных систем управления. В прикладной математике, в частности в контексте анализа нелинейных систем, фазовая плоскость представляет собой визуализацию определенных характеристик определенных типов дифференциальных уравнений – координатную плоскость, оси которой соответствуют значениям двух переменных состояния, например (x, y) или (q, p) и т.д. (любая пара переменных). Это двухмерный случай общего n-мерного фазового пространства. Метод фазовой плоскости используется для графического определения существования предельных циклов в решениях дифференциального уравнения. Решения дифференциального уравнения представляют собой семейство функций. Графически это можно изобразить на фазовой плоскости в виде двумерного векторного поля. В репрезентативных точках рисуются векторы, представляющие производные точек по параметру (например, времени t), то есть (dx/dt, dy/dt). При достаточном количестве этих векторов можно визуализировать поведение системы в различных областях плоскости и легко идентифицировать предельные циклы. Все поле представляет собой фазовый портрет, а конкретный путь, прослеженный вдоль линии потока (то есть путь, всегда касающийся векторов), – фазовую траекторию. Потоки в векторном поле указывают на временную эволюцию системы, описываемую дифференциальным уравнением. Таким образом, фазовые плоскости полезны для визуализации поведения физических систем, в частности, колебательных систем, таких как модели «хищник-жертва» (см. уравнения Лотки-Вольтерры). В этих моделях фазовые траектории могут «спирально сходиться» к нулю, «спирально расходиться» к бесконечности или достигать нейтрально устойчивых состояний, называемых центрами, где траектория может быть круговой, эллиптической, овальной или их вариантами. Это полезно для определения стабильности динамики. Другими примерами колебательных систем являются определенные химические реакции, состоящие из нескольких стадий, некоторые из которых включают динамическое равновесие, а не реакции, протекающие до завершения. В таких случаях можно смоделировать изменение концентрации реагентов и продуктов (или массы, или количества вещества) с помощью соответствующих дифференциальных уравнений и хорошего понимания химической кинетики.
In applied mathematics, in particular the context of nonlinear system analysis, a phase plane is a visual display of certain characteristics of certain kinds of differential equations; a coordinate plane with axes being the values of the two state variables, say (x, y), or (q, p) etc. (any pair of variables). It is a two dimensional case of the general n dimensional phase space. The phase plane method refers to graphically determining the existence of limit cycles in the solutions of the differential equation. The solutions to the differential equation are a family of functions. Graphically, this can be plotted in the phase plane like a two dimensional vector field. Vectors representing the derivatives of the points with respect to a parameter (say time t), that is (dx/dt, dy/dt), at representative points are drawn. With enough of these arrows in place the system behaviour over the regions of plane in analysis can be visualized and limit cycles can be easily identified. The entire field is the phase portrait, a particular path taken along a flow line (i. e. a path always tangent to the vectors) is a phase path. The flows in the vector field indicate the time evolution of the system the differential equation describes. In this way, phase planes are useful in visualizing the behaviour of physical systems; in particular, of oscillatory systems such as predator prey models (see Lotka–Volterra equations). In these models the phase paths can "spiral in" towards zero, "spiral out" towards infinity, or reach neutrally stable situations called centres where the path traced out can be either circular, elliptical, or ovoid, or some variant thereof. This is useful in determining if the dynamics are stable or not. Other examples of oscillatory systems are certain chemical reactions with multiple steps, some of which involve dynamic equilibria rather than reactions that go to completion. In such cases one can model the rise and fall of reactant and product concentration (or mass, or amount of substance) with the correct differential equations and a good understanding of chemical kinetics.
Эигенвекторы и узлы
Собственные векторы и узлы определяют профиль фазовых траекторий, обеспечивая наглядную интерпретацию решения динамической системы, как показано далее. Фазовая плоскость строится путем нанесения прямых линий, представляющих два собственных вектора (которые соответствуют устойчивым ситуациям, к которым система либо стремится, либо от которых удаляется). Затем фазовая плоскость изображается сплошными линиями вместо штрихов поля направлений. Знаки собственных значений определяют поведение фазовой плоскости:
Если знаки противоположны, то точка пересечения собственных векторов является седловой точкой. Если оба знака положительны, собственные векторы соответствуют устойчивым ситуациям, от которых система удаляется, а точка пересечения – неустойчивому узлу. Если оба знака отрицательны, собственные векторы соответствуют устойчивым ситуациям, к которым система стремится, а точка пересечения – устойчивому узлу. Понимание этого можно получить, вспомнив поведение экспоненциальных членов в решениях дифференциальных уравнений.
Повторяющиеся собственные значения
Этот пример рассматривает только случай действительных, различных собственных значений. Действительные, кратные собственные значения требуют решения системы уравнений с матрицей коэффициентов, неизвестным вектором и первым собственным вектором для получения второго решения системы 2x2. Однако, если матрица симметрична, можно использовать ортогональный собственный вектор для получения второго решения.
Комплексные собственные значения
Комплексные собственные значения и собственные векторы порождают решения в виде синусов и косинусов, а также экспонент. Одно из упрощений в данной ситуации заключается в том, что для генерации полного множества решений системы достаточно одного собственного значения и одного собственного вектора.