Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Топология математикалық саласында топологиялық кеңістік әдетте оның ашық жиындарын анықтау арқылы беріледі. Дегенмен, мұндай жасау міндетті емес, себебі эквивалентті аксиоматикалық негіздер көп, және олардың әрқайсысы бірдей ұғымға алып келеді. Мысалы, топологиялық кеңістік жабық жиындардың, жабылу және ішкі операциялардың, сондай-ақ әртүрлі нысандардың жуысуының класын анықтайды. Осылардың әрқайсысын нысандардың бастапқы класы ретінде қарастыруға болады, ал қалғандарының бәрі (ашық жиындар класын қоса алғанда) осы жаңа бастапқы нүктеден тікелей шығарылады. Мысалы, Казимеж Куратовскийдің нүктелік жиынтық топологиясы бойынша танымал оқулығында топологиялық кеңістік белгілі бір «жабылу операторы» бар жиын ретінде анықталады, ал барлық басқа ұғымдар одан туындайды. Сол сияқты, көршілікке негізделген аксиомаларды (Хаусдорф кеңістіктерінің контекстінде) Феликс Хаусдорфтың «Grundzüge der Mengenlehre» еңбегіндегі топологиялық кеңістіктің бастапқы анықтамасына дейін қайта табуға болады. Көптеген оқулықтар нүктелік жиынтық топологияны дамыту үшін ұғымдардың әртүрлі өзара байланыстарын пайдаланады. Нәтижесінде әрқашан бірдей нысандар жиыны пайда болады: ашық жиындар, жабық жиындар және т.б. Көптеген практикалық мақсаттар үшін қандай негізді таңдау маңызды емес, егер нысандардың мағынасы мен өзара байланысы (олардың көптегені осы мақалада келтірілген), даму таңдауына қарамастан бірдей болса. Алайда, кейбір жағдайларда икемділік пайдалы болуы мүмкін. Мысалы, өлшемдердің жуысуына қатысты әртүрлі табиғи ұғымдар бар, және олардың топологиялық құрылымнан туындайтыны немесе туындамайтыны бірден анық емес. Мұндай сұрақтар жуысуға негізделген топологиялық аксиомалармен айқын түсіндіріледі.
In the mathematical field of topology, a topological space is usually defined by declaring its open sets. However, this is not necessary, as there are many equivalent axiomatic foundations, each leading to exactly the same concept. For instance, a topological space determines a class of closed sets, of closure and interior operators, and of convergence of various types of objects. Each of these can instead be taken as the primary class of objects, with all of the others (including the class of open sets) directly determined from that new starting point. For example, in Kazimierz Kuratowski's well known textbook on point set topology, a topological space is defined as a set together with a certain type of "closure operator," and all other concepts are derived therefrom. Likewise, the neighborhood based axioms (in the context of Hausdorff spaces) can be retraced to Felix Hausdorff's original definition of a topological space in Grundzüge der Mengenlehre. Many different textbooks use many different inter dependences of concepts to develop point set topology. The result is always the same collection of objects: open sets, closed sets, and so on. For many practical purposes, the question of which foundation is chosen is irrelevant, as long as the meaning and interrelation between objects (many of which are given in this article), which are the same regardless of choice of development, are understood. However, there are cases where it can be useful to have flexibility. For instance, there are various natural notions of convergence of measures, and it is not immediately clear whether they arise from a topological structure or not. Such questions are greatly clarified by the topological axioms based on convergence.