Введение

В математической области топологии топологическое пространство обычно определяется через указание его открытых множеств. Однако это не является необходимым условием, поскольку существует множество эквивалентных аксиоматических оснований, каждое из которых приводит к одному и тому же понятию. Например, топологическое пространство определяет класс замкнутых множеств, операторы замыкания и внутренних множеств, а также понятие сходимости различных типов объектов. Каждый из этих элементов может быть принят в качестве первичного класса объектов, а все остальные (включая класс открытых множеств) непосредственно определяются исходя из этой новой отправной точки. Например, в известном учебнике Казимежа Куратовского по топологии множеств, топологическое пространство определяется как множество вместе с определенным типом "оператора замыкания", и все остальные понятия выводятся из него. Аналогично, аксиомы, основанные на окрестностях (в контексте пространств Хаусдорфа), можно проследить до первоначального определения топологического пространства, данного Феликсом Хаусдорфом в его труде "Grundzüge der Mengenlehre". Многие различные учебники используют различные взаимосвязи между понятиями для развития топологии множеств. Результатом всегда является один и тот же набор объектов: открытые множества, замкнутые множества и так далее. Для многих практических целей выбор исходного основания не имеет значения, если понимается смысл и взаимосвязь между объектами (многие из которых описаны в этой статье), которые остаются неизменными независимо от выбранного подхода. Однако в некоторых случаях полезно иметь гибкость. Например, существуют различные естественные понятия сходимости мер, и не всегда очевидно, вытекают ли они из топологической структуры. Такие вопросы существенно проясняются с помощью топологических аксиом, основанных на сходимости.