Алгебралық геометриядағы шекті морфизмдер, координат сақиналары изоморфтық болатын және интегралдық қасиеттері бар кеңістіктер туралы мағлұмат. SEO үшін оптимизацияланған.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Алгебралық геометрияда екі аффиндік алгебралық сорт арасындағы шекті морфизм – олардың координаттық сақиналары арасында изоморфты енгізуді тудыратын тығыз реттеулі бейнелеу, мұнда бірі екіншісінің интегралды жабылуы болып табылады. Бұл анықтама квазипроективтік сорттарға да таратылады, яғни квазипроективтік сорттар арасындағы реттеулі бейнелеу, егер кез келген нүкте үшін V аффиндік аймақ болса, ол аффиндік және шекті бейнелеу болып табылады (бұл аффиндік сорттар арасындағы бейнелеу болғандықтан, бұрынғы анықтаманы ескере отырып).
In algebraic geometry, a finite morphism between two affine varieties is a dense regular map which induces isomorphic inclusion between their coordinate rings, such that is integral over This definition can be extended to the quasi projective varieties, such that a regular map between quasiprojective varieties is finite if any point like has an affine neighbourhood V such that is affine and is a finite map (in view of the previous definition, because it is between affine varieties).
Шекті морфизмдердің қасиеттері
Екі шекті морфизмнің құрамы шекті. f: X → Y шекті морфизмінің кез келген негізді өзгеруі шекті. Яғни, егер g: Z → Y кез келген схема морфизмі болса, онда алынған морфизм X ×Y Z → Z шекті болады. Бұл келесі алгебралық мәлімдемеге сәйкес келеді: егер A және C (коммутативті) B алгебралары болса және A B модулі ретінде шекті түрде туындаса, онда тензорлық көбейтінді A ⊗B C C модулі ретінде шекті түрде туындайды. Шындығында, генераторларды ai ⊗ 1 элементтері ретінде алуға болады, мұнда ai – A-ның B модулі ретінде берілген генераторлары. Жабық ендірулер шекті, себебі олар жергілікті түрде A → A/I арқылы беріледі, мұнда I – жабық қосалқы схемаға сәйкес келетін идеал. Шекті морфизмдер жабық, сондықтан (негізді өзгерудегі тұрақтылығынан) дұрыс. Бұл Коэн-Сейденбергтің коммутативтік алгебрадағы өсу теоремасынан туындайды. Шекті морфизмдердің шекті талшықтары бар (яғни олар квази шекті). Бұл k өрісі үшін әрбір k шекті алгебраның Артиниялық сақина екендігінен туындайды. Осыған байланысты мәлімдеме: егер f: X → Y шекті сюръективті морфизм болса, онда X және Y бірдей өлшемге ие. Делинье бойынша, схемалардың морфизмі шекті болады, егер және тек қана егер ол дұрыс және квази шекті болса. Бұл Гротендик көрсеткен болатын, егер f: X → Y морфизмі жергілікті түрде шекті түрде берілсе, бұл Y Нотериан болған жағдайда басқа шарттардан туындайды. Шекті морфизмдер проективті де, аффинді де болады.
The composition of two finite morphisms is finite. Any base change of a finite morphism f: X → Y is finite. That is, if g: Z → Y is any morphism of schemes, then the resulting morphism X ×Y Z → Z is finite. This corresponds to the following algebraic statement: if A and C are (commutative) B algebras, and A is finitely generated as a B module, then the tensor product A ⊗B C is finitely generated as a C module. Indeed, the generators can be taken to be the elements ai ⊗ 1, where ai are the given generators of A as a B module. Closed immersions are finite, as they are locally given by A → A/I, where I is the ideal corresponding to the closed subscheme. Finite morphisms are closed, hence (because of their stability under base change) proper. This follows from the going up theorem of Cohen Seidenberg in commutative algebra. Finite morphisms have finite fibers (that is, they are quasi finite). This follows from the fact that for a field k, every finite k algebra is an Artinian ring. A related statement is that for a finite surjective morphism f: X → Y, X and Y have the same dimension. By Deligne, a morphism of schemes is finite if and only if it is proper and quasi finite. This had been shown by Grothendieck if the morphism f: X → Y is locally of finite presentation, which follows from the other assumptions if Y is Noetherian. Finite morphisms are both projective and affine.