Конечные морфизмы в алгебраической геометрии: определение, свойства (плотность, регулярность, изоморфизм колец координат). Связь с тензорными произведениями.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В алгебраической геометрии конечный морфизм между двумя аффинными многообразиями — это плотное регулярное отображение, индуцирующее изоморфное включение между их кольцами координат, такое что является целым над . Это определение можно расширить на квазипроективные многообразия, так что регулярное отображение между квазипроективными многообразиями является конечным, если для любой точки существует аффинная окрестность V, такая что V аффинна и ограничение на V является конечным отображением (в силу предыдущего определения, поскольку оно рассматривается между аффинными многообразиями).
In algebraic geometry, a finite morphism between two affine varieties is a dense regular map which induces isomorphic inclusion between their coordinate rings, such that is integral over This definition can be extended to the quasi projective varieties, such that a regular map between quasiprojective varieties is finite if any point like has an affine neighbourhood V such that is affine and is a finite map (in view of the previous definition, because it is between affine varieties).
Свойства конечных морфизмов
Состав двух конечных морфизмов конечен. Любое изменение основания конечного морфизма f: X → Y является конечным. То есть, если g: Z → Y – любой морфизм схем, то результирующий морфизм X ×Y Z → Z конечен. Это соответствует следующему алгебраическому утверждению: если A и C – (коммутативные) B-алгебры, и A конечно порождена как B-модуль, то тензорное произведение A ⊗B C конечно порождено как C-модуль. Действительно, в качестве порождающих можно взять элементы ai ⊗ 1, где ai – заданные порождающие A как B-модуля. Закрытые погружения конечны, поскольку они локально задаются отображением A → A/I, где I – идеал, соответствующий замкнутой подсхеме. Конечные морфизмы являются замкнутыми, следовательно (в силу их стабильности при изменении основания) собственными. Это следует из теоремы Коэна — Зейденберга в коммутативной алгебре. Конечные морфизмы имеют конечные волокна (то есть они квазиконечны). Это следует из того факта, что для поля k каждая конечная k-алгебра является кольцом Артина. Связанное утверждение состоит в том, что для конечного сюръективного морфизма f: X → Y, X и Y имеют одинаковую размерность. По теореме Делиня, морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он является собственным и квазиконечным. Это было показано Гротендиком, если морфизм f: X → Y локально конечно представим, что следует из других предположений, если Y ноэтерианский. Конечные морфизмы являются как проективными, так и аффинными.
The composition of two finite morphisms is finite. Any base change of a finite morphism f: X → Y is finite. That is, if g: Z → Y is any morphism of schemes, then the resulting morphism X ×Y Z → Z is finite. This corresponds to the following algebraic statement: if A and C are (commutative) B algebras, and A is finitely generated as a B module, then the tensor product A ⊗B C is finitely generated as a C module. Indeed, the generators can be taken to be the elements ai ⊗ 1, where ai are the given generators of A as a B module. Closed immersions are finite, as they are locally given by A → A/I, where I is the ideal corresponding to the closed subscheme. Finite morphisms are closed, hence (because of their stability under base change) proper. This follows from the going up theorem of Cohen Seidenberg in commutative algebra. Finite morphisms have finite fibers (that is, they are quasi finite). This follows from the fact that for a field k, every finite k algebra is an Artinian ring. A related statement is that for a finite surjective morphism f: X → Y, X and Y have the same dimension. By Deligne, a morphism of schemes is finite if and only if it is proper and quasi finite. This had been shown by Grothendieck if the morphism f: X → Y is locally of finite presentation, which follows from the other assumptions if Y is Noetherian. Finite morphisms are both projective and affine.