Кіріспе
Жалпы салыстырмалылық теориясындағы кеңістік-уақыттың 4D геометриясын сипаттайтын тензор – метрика. Жалпы салыстырмалылық теориясында метрикалық тензор (көбінесе жай ғана метрика деп қысқартылады) зерттеудің негізгі нысаны болып табылады. Метрика уақыт, қашықтық, көлем, қисықтық, бұрыш және болашақ пен өткеннің аражіктеп бөлінуі сияқты ұғымдарды анықтауға қолданылатын кеңістік-уақыттың барлық геометриялық және себептік құрылымын қамтиды. Жалпы салыстырмалылық теориясында метрикалық тензор классикалық гравитация теориясындағы гравитациялық потенциалдың рөлін атқарады, бірақ оған байланысты теңдеулердің физикалық мазмұны мүлдем өзгеше. Гутфреунд пен Ренн: "Жалпы салыстырмалылық теориясында гравитациялық потенциал метрикалық тензормен бейнеленеді" дейді.
metrics in general relativity
In general relativity, the metric tensor (in this context often abbreviated to simply the metric) is the fundamental object of study. The metric captures all the geometric and causal structure of spacetime, being used to define notions such as time, distance, volume, curvature, angle, and separation of the future and the past. In general relativity, the metric tensor plays the role of the gravitational potential in the classical theory of gravitation, although the physical content of the associated equations is entirely different. Gutfreund and Renn say "that in general relativity the gravitational potential is represented by the metric tensor."
Нотациялау және конвенциялар
Бұл мақала негізінен оң (− + + +) метрикалық қолтаңбамен жұмыс жасайды; белгілер туралы конвенцияны қараңыз. Гравитациялық тұрақты нақты көрсетіледі. Бұл мақалада Эйнштейннің жиынтықталған конвенциясы қолданылады, онда қайталаған индекстер автоматты түрде қосылады.
Анықтама
Математикалық тұрғыдан алғанда, кеңістік-уақыт төрт өлшемді дифференциалдық көптүрлілік ретінде бейнеленеді, ал метрикалық тензор ковариантты, екінші дәрежелі, симметриялық тензор ретінде беріледі, әдетте деп белгіленеді. Метриканың (− + + +) қолтаңбасына ие болуы талап етіледі. Мұндай метрикамен жабдықталған көптүрлілік – Лоренц көптүрлілігінің бір түрі. Метрикалық тензор – әр тангенттік кеңістіктегі симметриялық билинеарлық форма, ол нүктеден нүктеге тегіс (немесе дифференциалданатын) түрде өзгереді. нүктесіндегі екі тангенттік вектор және берілгенде, метриканы нақты санға бағалауға болады:
Бұл – қарапайым Евклид кеңістігінің скалярлық көбейтіндісінің жалпылануы. Евклид кеңістігінен айырмашылығы – онда скалярлық көбейтінді оң анықталған – метрика анықталмаған және әр тангенттік кеңістікке Минковский кеңістігінің құрылымын береді.
Жергілікті координаттар мен матрицалық бейнелеулер
Физиктер әдетте жергілікті координаттармен жұмыс істейді (яғни, белгілі бір жергілікті аймақта анықталған координаттар). Жергілікті координаттарда (мұндағы *i* индексі 0-ден 3-ке дейін өзгереді) метриканы былай жазуға болады: Факторлар – скалярлық координаттық өрістердің бір формасы градиенттері. Осылайша, метрика координаттар градиенттерінің бір формасының тензорлық көбейтінділерінің сызықтық комбинациясы болып табылады. Коэффициенттер – 16 нақты мәнді функциялар жиынтығы (өйткені тензор – кеңістік-уақыттың кез келген нүктесінде анықталған тензорлық өріс). Метрика симметриялы болу үшін 10 тәуелсіз коэффициент жеткілікті. Егер жергілікті координаттар көрсетілген немесе контекстен түсінілсе, метриканы 4 × 4 симметриялық матрица түрінде жазуға болады. Бұл матрица емес-бірлік (яғни, нөлдік емес детерминанты бар) дегенді білдіреді, ал Лоренц қолтаңбасы матрицаның бір теріс және үш оң өзіндік мәні бар екенін көрсетеді. Физиктер көбінесе осы матрицаны немесе координаттардың өзін метрика деп атайды (бірақ абстрактілік индекс жазбасын қараңыз). Егер шамалар шексіз кішкентай координаттық ығысқа сәйкес келетін төрттік вектордың құраушылары ретінде қарастырылса (жоғарыдағы бір формасымен шатастырмау керек), онда метрика шексіз кішкентай сызық элементінің инвариантты квадратын анықтайды, оны көбінесе аралық деп атайды. Аралық көбінесе былай белгіленеді: Аралық кеңістік-уақыттың себептік құрылымы туралы ақпарат береді. Егер аралық уақыт тәрізді болса, онда абсолюттік мәнінің квадрат түбірі – инкременттік дұрыс уақыт. Тек уақыт тәрізді аралықтарды ғана массивті дене физикалық түрде басып өте алады. Егер аралық жарық тәрізді болса, оны жарық жылдамдығымен қозғалатын (массасыз) нысандар ғана басып өте алады. Егер аралық кеңістік тәрізді болса, онда оның квадрат түбірі – инкременттік дұрыс ұзындық. Кеңістік тәрізді аралықтарды басып өту мүмкін емес, өйткені олар бір-бірінің жарық конустарының сыртында жатқан оқиғаларды байланыстырады. Оқиғалар себептік байланысты болуы үшін олар бір-бірінің жарық конустарының ішінде болуы керек. Метриканың құраушылары жергілікті координаттар жүйесін таңдауға байланысты. Координаттар өзгерген кезде метриканың құраушылары былай түрленеді:
The factors are one form gradients of the scalar coordinate fields The metric is thus a linear combination of tensor products of one form gradients of coordinates. The coefficients are a set of 16 real valued functions (since the tensor is a tensor field, which is defined at all points of a spacetime manifold). In order for the metric to be symmetric
giving 10 independent coefficients. If the local coordinates are specified, or understood from context, the metric can be written as a 4 × 4 symmetric matrix with entries The nondegeneracy of means that this matrix is non singular (i. e. has non vanishing determinant), while the Lorentzian signature of implies that the matrix has one negative and three positive eigenvalues. Physicists often refer to this matrix or the coordinates themselves as the metric (see, however, abstract index notation). With the quantities being regarded as the components of an infinitesimal coordinate displacement four vector (not to be confused with the one forms of the same notation above), the metric determines the invariant square of an infinitesimal line element, often referred to as an interval. The interval is often denoted
The interval imparts information about the causal structure of spacetime. When , the interval is timelike and the square root of the absolute value of is an incremental proper time. Only timelike intervals can be physically traversed by a massive object. When , the interval is lightlike, and can only be traversed by (massless) things that move at the speed of light. When , the interval is spacelike and the square root of acts as an incremental proper length. Spacelike intervals cannot be traversed, since they connect events that are outside each other's light cones. Events can be causally related only if they are within each other's light cones. The components of the metric depend on the choice of local coordinate system. Under a change of coordinates , the metric components transform as
Қара тесіктің өлшемдері
Шварцшильд метрикасы зарядталмаған, бұрлыспайтын қара тесікті сипаттайды. Бұрлысатын және зарядталған қара тесіктерді сипаттайтын метрикалар да бар.
Айналмалы және зарядталған қара тесіктер
Шварцшильд шешімі кеңістікте бұрылмаған және зарядталмаған объектіні қарастырады. Зарядты ескеру үшін метрика бұрынғыдай Эйнштейннің өріс теңдеулерін, сондай-ақ қисық кеңістікте Максвелл теңдеулерін қанағаттандыруы тиіс. Зарядталған, бұрылмаған масса Райсснер-Нордстрем метрикасымен сипатталады. Айналатын қара тесіктер Керр метрикасы және Керр-Ньюман метрикасымен сипатталады.
Көлем
Метрикалық g табиғи көлемдік форманы (белгіге дейін) тудырады, оны көпқырлының аймағында интегралдау үшін қолдануға болады. Көпқырлы үшін жергілікті координаттар берілген жағдайда, көлемдік форманы былай жазуға болады:
мұнда – берілген координаттар жүйесі үшін метрикалық тензор компоненттерінің матрицасының детерминанты.
Иілгіш
Метрика кеңістік-уақыттың қисықтығын толық анықтайды. Риман геометриясының негізгі теоремасы бойынша, кез келген жартылай Римандық көптемеде метрикамен үйлесімді және бұрылыссыз бірегей байланыс бар. Бұл байланыс Леви-Чивита байланысы деп аталады. Осы байланыстың Кристоффель символдары жергілікті координаттарда метриканың ішінара туындылары арқылы формуламен беріледі (мұндағы үтірлер ішінара туындыларды білдіреді). Содан кейін кеңістік-уақыттың қисықтығы Леви-Чивита байланысы арқылы анықталатын Риман қисықтық тензорымен сипатталады. Жергілікті координаттарда бұл тензор былай беріледі: Қисықтық осылайша метрика және оның туындылары арқылы ғана өрнектеледі.
(where commas indicate partial derivatives). The curvature of spacetime is then given by the Riemann curvature tensor which is defined in terms of the Levi Civita connection ∇. In local coordinates this tensor is given by:
The curvature is then expressible purely in terms of the metric and its derivatives.