Введение

Тензор, описывающий 4D геометрию пространства-времени, метрики в общей теории относительности.

В общей теории относительности метрический тензор (в этом контексте часто сокращается до просто метрики) является фундаментальным объектом изучения. Метрика отражает всю геометрическую и причинную структуру пространства-времени и используется для определения таких понятий, как время, расстояние, объём, кривизна, угол и разделение будущего и прошлого. В общей теории относительности метрический тензор играет роль гравитационного потенциала в классической теории гравитации, хотя физический смысл связанных с ним уравнений совершенно иной. Гатфреунд и Ренн утверждают, что "в общей теории относительности гравитационный потенциал представлен метрическим тензором".

Нотация и конвенции

Эта статья использует метрическую сигнатуру, преимущественно положительную (− + + +); см. соглашение о знаках. Гравитационная постоянная остается явно указанной. В данной статье применяется соглашение Эйнштейна о суммировании, при котором повторяющиеся индексы автоматически суммируются.

Определение

Математически, пространство-время представляется четырехмерным дифференцируемым многообразием, а метрический тензор задается как ковариантный, симметричный тензор второго ранга на , обычно обозначаемый как . Кроме того, метрика должна быть невырожденной с сигнатурой (− + + +). Многообразие, оснащенное такой метрикой, является типом лоренцева многообразия. Явно, метрический тензор является симметричной билинейной формой на каждом касательном пространстве , которая меняется гладко (или дифференцируемо) от точки к точке. Для двух касательных векторов и в точке , метрика может быть вычислена для них, давая действительное число:

Это обобщение скалярного произведения обычного евклидова пространства. В отличие от евклидова пространства, где скалярное произведение является положительно определенным, метрика является неопределенной и наделяет каждое касательное пространство структурой пространства Минковского.

Местные координаты и матричные представления

Физики обычно работают в локальных координатах (то есть координатах, определенных на некотором локальном участке). В локальных координатах (где *i* – индекс, принимающий значения от 0 до 3) метрика может быть записана в виде:

Факторы являются градиентами одномерных форм скалярных координатных полей. Таким образом, метрика представляет собой линейную комбинацию тензорных произведений градиентов одномерных форм координат. Коэффициенты составляют множество из 16 вещественных функций (поскольку тензор является тензорным полем, определенным во всех точках пространственно-временного многообразия). Для симметрии метрики необходимо 10 независимых коэффициентов. Если локальные координаты заданы или подразумеваются из контекста, метрику можно представить в виде симметричной матрицы 4 × 4 с элементами . Невырожденность означает, что эта матрица не является сингулярной (то есть имеет ненулевой определитель), а лоренцевая сигнатура указывает на то, что матрица имеет одно отрицательное и три положительных собственных значения. Физики часто называют эту матрицу или сами координаты метрикой (однако, см. абстратную индексную нотацию). Если рассматривать как компоненты бесконечно малого координатного смещения четырехвектора (не путать с одномерными формами с тем же обозначением выше), то метрика определяет инвариантный квадрат бесконечно малого элемента линии, часто называемого интервалом. Интервал обычно обозначается как

Интервал несет информацию о причинной структуре пространства-времени. Если , интервал является временным, а квадратный корень из абсолютного значения – это инкремент собственного времени. Только временные интервалы могут быть физически пройдены массивным объектом. Если , интервал светоподобный, и его могут проходить только (безмассовые) объекты, движущиеся со скоростью света. Если , интервал пространственный, а квадратный корень из выступает в качестве инкрементальной собственной длины. Пространственные интервалы нельзя пройти, поскольку они связывают события, находящиеся вне световых конусов друг друга. События могут быть причинно связаны только в том случае, если они находятся внутри световых конусов друг друга. Компоненты метрики зависят от выбора локальной системы координат. При изменении координат компоненты метрики преобразуются следующим образом:

Метрики черной дыры

Метрика Шварцшильда описывает незаряженную, не вращающуюся чёрную дыру. Существуют также метрики, описывающие вращающиеся и заряженные чёрные дыры.

Ротационные и заряженные черные дыры

Решение Шварцшильда предполагает объект, который не вращается в пространстве и не имеет заряда. Для учета заряда метрика должна удовлетворять уравнениям Эйнштейна, как и ранее, а также уравнениям Максвелла в искривлённом пространстве-времени. Заряженная, не вращающаяся масса описывается метрикой Райсснера — Нордстрёма. Вращающиеся чёрные дыры описываются метрикой Керра и метрикой Керра — Ньюмана.

Объем

Метрика g индуцирует естественную форму объёма (с точностью до знака), которую можно использовать для интегрирования по области многообразия. Заданы локальные координаты для многообразия, форма объёма может быть записана как

где – определитель матрицы компонент метрического тензора в данной системе координат.

Кривота

Метрика полностью определяет кривизну пространства-времени. Согласно основной теореме римановой геометрии, на любом полуримановом многообразии существует единственная связность ∇, совместимая с метрикой и не имеющая кручения. Эта связность называется связностью Леви-Чивиты. Символы Кристоффеля этой связности выражаются через частные производные метрики в локальных координатах следующей формулой:

(где запятые обозначают частные производные). Кривизна пространства-времени затем задается тензором кривизны Римана, который определяется через связность Леви-Чивиты ∇. В локальных координатах этот тензор имеет вид:

Кривизна может быть выражена исключительно через метрику и её производные.