Кіріспе

Көптүзекті алгебра және бейнелеу теориясындағы ұғым. Математикада, көптүзекті алгебра және бейнелеу теориясы салаларында екінші дәрежелі тензордың бас инварианттары – сипаттамалық полиномның коэффициенттері болып табылады:

,

мұнда – бірлік оператор, ал – полиномның өзіндік мәндерін көрсетеді. Жалпы алғанда, кез келген скалярлық шамалас функция барлық ортогональ матрицалар үшін егер және тек қана болса, инварианты болып табылады. Бұл, компоненттер арқылы инвариантты көрсететін формуланың барлық декарт негіздері үшін бірдей нәтиже беретінін білдіреді. Мысалы, тензорының жеке диагональдық компоненттері негізді өзгерту кезінде өзгеретін болса да, диагональдық компоненттерінің қосындысы өзгермейді.

Қасиеттері

Негізгі инварианттар координаттар жүйесінің бұрылуымен өзгермейді (олар объективті, немесе қазіргі заманғы терминологияда, материалдық санақ жүйесіне тәуелсіздік принципін қанағаттандырады) және негізгі инварианттардың кез келген функциясы да объективті болады.

Екінші қатарлы тензорлардың инварианттарын есептеу

Көптеген инженериялық қолданыстарда үш өлшемді (екінші ретті) тензорлардың бас инварианттары іздестіріледі, мысалы, оң Каши-Грин деформация тензоры үшін, оның өзіндік мәндері , , және болады. Мұнда , , және бас созулар болып табылады, яғни -ның өзіндік мәндері.

Аралас инварианттар

Бұдан әрі, екінші дәрежелі тензорлар жұптары арасындағы аралас инварианттар да анықталуы мүмкін.

Инженерлік қолданбалар

Тензордың негізгі инварианттарына толықтай тәуелді скалярлық функция объективті, яғни координаттар жүйесінің бұрылуына тәуелсіз. Бұл қасиет көбінесе изотроптық симметрияға ие сызықтық емес материалдың деформациялық энергия тығыздығын немесе Гельмгольц еркін энергиясын жабық түрде өрнектеу үшін қолданылады. Бұл әдісті алғаш рет 1940 жылы Говард П. Робертсон изотроптық турбуленцияға енгізіп, инварианттық принципінен Карман-Хоуарт теңдеуін шығара алды. Джордж Батчелор және Субрахманян Чандрасекар осы әдісті пайдаланып, осьтік симметриялы турбуленцияны жан-жақты зерттеді.

Симметриялы емес тензорлардың инварианттары

3D-дегі нақты тензор (яғни 3x3 компоненттік матрицасы бар) алты тәуелсіз инвариантқа ие, олардың үшеуі оның симметриялық бөлігінің инварианттары, ал қалған үшеуі симметриялық бөлігінің бас бағыттарына қатысты қисық симметриялық бөлігінің осьтік векторының бағытын сипаттайды. Мысалы, егер тензордың Декарт компоненттері мынадай болса,

бірінші қадам – қисық симметриялық бөлікке байланысты осьтік векторды есептеу болады. Атап айтқанда, осьтік вектордың компоненттері мынадай:

Екінші қадам – симметриялық бөлігінің өзіндік мәндерін табу. Нақты симметриялық емес тензордың өзіндік мәндері кешенді болуы мүмкін болғанымен, оның симметриялық бөлігінің өзіндік мәндері әрқашан нақты болады және оларды үлкенінен кішісіне дейін реттеуге болады. Тиісті ортонормалды бас бағыттарға осьтік вектордың бірінші октантта орналасуын қамтамасыз ету үшін бағдар берілуі мүмкін. Осы арнайы басқа қатысты тензордың компоненттері мынадай:

Алғашқы үш инвариант – осы матрицаның диагональдық компоненттері (тензордың симметриялық бөлігінің реттелген өзіндік мәндеріне тең). Қалған үш инвариант – осьтік вектордың осы басқа қатысты компоненттері: Ескерту: осьтік вектордың модулі , , – тензордың қисық бөлігінің жалғыз инварианты, ал осы үш ерекше инвариант симметриялық және қисық бөліктерінің арасындағы «үйлесімділікті» (бір түрлі) сипаттайды. Айтқандай, тензордың өзіндік мәндері оң болса, ол оң анық деген миф бар. Шын мәнінде, ол оң анық болады, егер және тек қана оның симметриялық бөлігінің өзіндік мәндері оң болса.