Введение

Понятие в многолинейной алгебре и теории представлений. В математике, в областях многолинейной алгебры и теории представлений, главные инварианты тензора второго ранга — это коэффициенты характеристического многочлена

,

где — оператор тождества, а — собственные значения многочлена. В более широком смысле, любая скалярнозначная функция является инвариантом тогда и только тогда, когда для всех ортогональных матриц. Это означает, что формула, выражающая инвариант через компоненты, , будет давать один и тот же результат для всех декартовых базисов. Например, хотя отдельные диагональные компоненты будут меняться при смене базиса, сумма диагональных компонентов останется неизменной.

Свойства

Основные инварианты не изменяются при поворотах системы координат (они объективны, или, в более современной терминологии, удовлетворяют принципу независимости от материальной системы отсчета), и любая функция основных инвариантов также является объективной.

Расчет инвариантов тензоров второго ранга

В большинстве инженерных приложений ищут главные инварианты (тензоров второго ранга) трехмерных тензоров, такие как инварианты для тензора деформации Коши-Грина, имеющего собственные значения , , и , где , , и – главные растяжения, то есть собственные значения .

Смешанные инварианты

Кроме того, можно определить смешанные инварианты для пар тензоров второго ранга.

Инженерные приложения

Скалярная функция, которая полностью зависит от главных инвариантов тензора, является объективной, то есть не зависит от поворотов системы координат. Это свойство обычно используется при формулировании аналитических выражений для плотности энергии деформации или свободной энергии Гельмгольца нелинейного материала, обладающего изотропной симметрией. Этот метод был впервые применен к изотропной турбулентности Говардом П. Робертсоном в 1940 году, когда ему удалось вывести уравнение Кармана — Ховарта из принципа инвариантности. Джордж Батчелор и Субрахманян Чандрасекар развили эту технику и разработали более полное рассмотрение осесимметричной турбулентности.

Инварианты несимметричных тензоров

Реальный тензор в 3D (т. е. с матрицей компонентов 3x3) имеет целых шесть независимых инвариантов, три из которых являются инвариантами его симметричной части, а три характеризуют ориентацию осевого вектора антисимметричной части относительно главных направлений симметричной части. Например, если декартовы компоненты тензора имеют вид

первым шагом будет вычисление осевого вектора , связанного с антисимметричной частью. В частности, компоненты осевого вектора равны

Следующим шагом является нахождение главных значений симметричной части . Даже если собственные значения реального несимметричного тензора могут быть комплексными, собственные значения его симметричной части всегда будут вещественными и, следовательно, могут быть упорядочены от наибольшего к наименьшему. Соответствующим ортонормальным главным направлениям можно присвоить направления, чтобы гарантировать, что осевой вектор направлен в первую октант. В этой специальной системе координат компоненты имеют вид

Первые три инварианта – это диагональные элементы этой матрицы: (равные упорядоченным главным значениям симметричной части тензора). Оставшиеся три инварианта – это компоненты осевого вектора в этой системе координат: Примечание: величина осевого вектора , является единственным инвариантом антисимметричной части , в то время как эти три различных инварианта характеризуют (в некотором смысле) «выравнивание» между симметричной и антисимметричной частями . Кстати, это заблуждение, что тензор является положительно определенным, если его собственные значения положительны. Вместо этого, он является положительно определенным тогда и только тогда, когда собственные значения его симметричной части положительны.