Кіріспе
Бір мезгілде шешілетін 1-дәрежелі бірнеше теңдеулер. Математикада сызықтық теңдеулер жүйесі (немесе сызықтық жүйе) – бір немесе бірнеше сызықтық теңдеулердің жиынтығы, олар бірдей айнымалыларды қамтиды. Мысалы,
In mathematics, a system of linear equations (or linear system) is a collection of one or more linear equations involving the same variables. For example,
is a system of three equations in the three variables x, y, z. A solution to a linear system is an assignment of values to the variables such that all the equations are simultaneously satisfied. In the example above, a solution is given by the ordered triple
since it makes all three equations valid. The word "system" indicates that the equations should be considered collectively, rather than individually. Linear systems are the basis and a fundamental part of linear algebra, a subject used in most modern mathematics. Computational algorithms for finding the solutions are an important part of numerical linear algebra, and play a prominent role in engineering, physics, chemistry, computer science, and economics. A system of non linear equations can often be approximated by a linear system (see linearization), a helpful technique when making a mathematical model or computer simulation of a relatively complex system. Very often, and in this article, the coefficients of the equations are real or complex numbers and the solutions are searched in the same set of numbers, but the theory and the algorithms apply for coefficients and solutions in any field. For solutions in an integral domain like the ring of the integers, or in other algebraic structures, other theories have been developed, see Linear equation over a ring. Integer linear programming is a collection of methods for finding the "best" integer solution (when there are many). Gröbner basis theory provides algorithms when coefficients and unknowns are polynomials. Tropical geometry is another example of linear algebra in a more exotic structure.
үш айнымалысы x, y, z үшін үш теңдеудің жүйесі болып табылады. Сызықтық жүйенің шешімі – барлық теңдеулерді бір мезгілде қанағаттандыратын айнымалыларға берілген мәндер жиынтығы. Жоғарыдағы мысалда шешім реттелген үштік арқылы беріледі, себебі ол үш теңдеудің де орындалуын қамтамасыз етеді. "Жүйе" сөзі теңдеулерді жеке-жеке емес, жиынтық ретінде қарастыру қажеттігін көрсетеді. Сызықтық жүйелер – қазіргі заманғы математиканың көп бөлігінде қолданылатын сызықтық алгебраның негізі және маңызды бөлігі. Шешімдерді табуға арналған есептеу алгоритмдері – сандық сызықтық алгебраның маңызды бөлігі және инженерлік, физикалық, химиялық, компьютерлік ғылымдар мен экономика салаларында маңызды рөл атқарады. Сызықтық емес теңдеулер жүйесін көбінесе сызықтық жүйемен жуықтауға болады (сызықтықтандыруға қараңыз), бұл салыстырмалы түрде күрделі жүйенің математикалық моделін немесе компьютерлік симуляциясын жасау кезінде пайдалы техника. Көп жағдайда, және осы мақалада, теңдеулердің коэффициенттері нақты немесе кешенді сандар болып табылады және шешімдер сол сандар жиынтығында ізделеді, бірақ теория мен алгоритмдер кез келген саладағы коэффициенттер мен шешімдерге де қолданылады. Бүтін сандар сақинасы сияқты интегралдық доменде немесе басқа алгебралық құрылымдардағы шешімдер үшін басқа теориялар әзірленді, сақинадағы сызықтық теңдеулерді қараңыз. Бүтін сандық сызықтық бағдарламалау – көптеген жағдайларда "ең жақсы" бүтін сандық шешімді табу әдістерінің жиынтығы. Грёбнер негізі теориясы коэффициенттер мен белгісіздер полиномдар болған кезде алгоритмдерді ұсынады. Тропикалық геометрия – сызықтық алгебраның тағы бір экзотикалық құрылымы.
In mathematics, a system of linear equations (or linear system) is a collection of one or more linear equations involving the same variables. For example,
is a system of three equations in the three variables x, y, z. A solution to a linear system is an assignment of values to the variables such that all the equations are simultaneously satisfied. In the example above, a solution is given by the ordered triple
since it makes all three equations valid. The word "system" indicates that the equations should be considered collectively, rather than individually. Linear systems are the basis and a fundamental part of linear algebra, a subject used in most modern mathematics. Computational algorithms for finding the solutions are an important part of numerical linear algebra, and play a prominent role in engineering, physics, chemistry, computer science, and economics. A system of non linear equations can often be approximated by a linear system (see linearization), a helpful technique when making a mathematical model or computer simulation of a relatively complex system. Very often, and in this article, the coefficients of the equations are real or complex numbers and the solutions are searched in the same set of numbers, but the theory and the algorithms apply for coefficients and solutions in any field. For solutions in an integral domain like the ring of the integers, or in other algebraic structures, other theories have been developed, see Linear equation over a ring. Integer linear programming is a collection of methods for finding the "best" integer solution (when there are many). Gröbner basis theory provides algorithms when coefficients and unknowns are polynomials. Tropical geometry is another example of linear algebra in a more exotic structure.
Векторлық теңдеу
Бір өте пайдалы көзқарас – әр белгісізі – сызықтық комбинациядағы бағана векторының салмағы. Бұл векторлық кеңістіктердің (немесе жалпы алғанда, модульдердің) барлық тілі мен теориясын қолдануға мүмкіндік береді. Мысалы, сол жақтағы векторлардың барлық мүмкін сызықтық комбинацияларының жиынтығы олардың кеңеюі (span) деп аталады, және теңдеулердің шешімі тек оң жақтағы вектор осы кеңеюде болған жағдайда ғана болады. Егер осы кеңеюдегі әрбір вектор берілген сол жақтағы векторлардың сызықтық комбинациясы ретінде дәл бір жолмен өрнектелсе, онда кез келген шешім бірегей болады. Қай жағдайда болсын, кеңеюдің сызықтық тәуелсіз векторлардың негізі болады, ол дәл бір өрнекті кепілдендіреді; және осы негіздегі векторлардың саны (оның өлшемі) m немесе n-ден артық болмайды, бірақ одан кем болуы мүмкін. Бұл маңызды, себебі егер m тәуелсіз вектор болса, онда оң жаққа қарамастан шешім кепілдендіріледі, ал басқа жағдайда кепілдік жоқ.
Геометриялық түсіндіру
Екі айнымалыны (x және y) қамтитын жүйе үшін әр сызықтық теңдеу xy жазықтығында түзуді анықтайды. Сызықтық жүйенің шешімі барлық теңдеулерді қанағаттандыруы керек болғандықтан, шешімдер жиынтығы осы түзулердің қиылысы болып табылады, демек ол түзу, жалғыз нүкте немесе бос жиынтық болуы мүмкін. Үш айнымалы үшін әр сызықтық теңдеу үш өлшемді кеңістіктегі жазықтықты анықтайды, ал шешімдер жиынтығы осы жазықтықтардың қиылысы болып табылады. Осылайша, шешімдер жиынтығы жазықтық, түзу, жалғыз нүкте немесе бос жиынтық болуы мүмкін. Мысалы, үш параллель жазықтықтың ортақ нүктесі болмағандықтан, олардың теңдеулерінің шешімдер жиынтығы бос болады; бір нүктеде қиылысатын үш жазықтықтың теңдеулерінің шешімдер жиынтығы жалғыз нүкте болады; егер үш жазықтық екі нүктеден өтетін болса, олардың теңдеулері кем дегенде екі ортақ шешімге ие болады; шындығында, шешімдер жиынтығы шексіз және осы нүктелер арқылы өтетін барлық түзулерден тұрады. n айнымалы үшін әр сызықтық теңдеу n өлшемді кеңістіктегі гипержазықтықты анықтайды. Шешімдер жиынтығы – бұл гипержазықтықтардың қиылысы, ол n-ден төмен өлшемді жазықтық болып табылады.
Теңдестік
Егер екінші жүйедегі теңдеулердің әрқайсысын бірінші жүйедегі теңдеулерден алгебралық түрде шығаруға болады, және керісінше, екі сызықтық жүйе бірдей айнымалылар жиынтығын қолданса, онда олар эквивалентті болады. Екі жүйе эквивалентті болады, егер олардың екеуі де шешімі болмаса немесе олардың әрқайсысының теңдеуі екінші жүйенің теңдеулерінің сызықтық комбинациясы болса. Осыдан екі сызықтық жүйе эквивалентті болуы үшін, олардың шешімдер жиынтығы бірдей болуы керек.
Сызықтық жүйені шешу
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге арналған бірнеше алгоритм бар.
Матрицалық ерітінді
Егер теңдеулер жүйесі матрицалық түрде берілсе, онда барлық шешімдер жиыны да матрицалық түрде беріле алады. Егер A матрицасы квадрат болса (m қатар және n=m баған) және толық рангда болса (барлық m қатар тәуелсіз болса), онда жүйенің бірегей шешімі A матрицасының кері матрицасы арқылы беріледі:
мұндағы – A матрицасының кері матрицасы. Жалпы жағдайда, m=n болсын болмасын және A матрицасының рангіне қарамастан, барлық шешімдер (егер олар болса) A матрицасының Мур-Пенроуз кері матрицасы арқылы табылады, ол деп белгіленеді:
мұндағы – барлық мүмкін n×1 векторлар жиынынан алынған еркін параметрлердің векторы. Шешімдердің болуы үшін қажетті және жеткілікті шарт – алынған потенциалды шешім шартын қанағаттандыру, яғни . Егер бұл шарт орындалмаса, теңдеулер жүйесі үйлесімсіз және шешімі жоқ. Егер шарт орындалса, жүйе үйлесімді және кемінде бір шешім бар. Мысалы, жоғарыда айтылған жағдайда, A матрицасы квадрат және толық рангда болса, онда жай ғана тең болады және жалпы шешім теңдеуі бұрын айтылғандай келесідей қарапайымдастырылады:
онда шешімнен толығымен жойылып, тек бір шешім қалады. Басқа жағдайларда болса, қалды және сондықтан еркін параметрлер векторының шексіз көп мәндері теңдеудің шексіз көп шешімдерін береді.
Басқа әдістер
Үш немесе төрт теңдеуден тұратын жүйелерді қолмен оңай шешуге болады (Краковианды қараңыз), ал үлкен жүйелер үшін көбінесе компьютерлер қолданылады. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің стандартты алгоритмі кейбір өзгерістермен Гаусс әдісіне негізделген. Біріншіден, кішкентай сандарға бөлуден аулақ болу қажет, себебі бұл дұрыс емес нәтижелерге әкелуі мүмкін. Бұл қажет болған жағдайда теңдеулерді қайта реттеу арқылы, яғни бұрылыс процесі арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Екіншіден, алгоритм тікелей Гаусс әдісін қолданбайды, бірақ A матрицасының LU ыдырауын есептейді. Бұл көбінесе ұйымдастыру құралы, бірақ егер бірдей A матрицасымен, бірақ әртүрлі b векторларымен бірнеше жүйені шешу қажет болса, бұл әлдеқайда жылдам. Егер A матрицасының ерекше құрылымы болса, оны жылдам немесе дәл алгоритмдерді алу үшін пайдалануға болады. Мысалы, симметриялық оң анықталған матрицасы бар жүйелерді Чолески ыдырауымен екі есе жылдам шешуге болады. Левинсон рекурсиясы Топлиц матрицалары үшін жылдам әдіс болып табылады. Көптеген нөлдік элементтері бар матрицалар үшін де (сиректе матрицалар деп аталады) арнайы әдістер бар, олар қолданбаларда жиі кездеседі. Өте үлкен жүйелер үшін мүлдем басқа тәсіл қолданылады, әйтпесе бұл тым көп уақыт немесе жадты қажет етеді. Идеясы – шешімге бастапқы жуықтамадан бастау (бұл міндетті түрде дәл болуы керек емес) және осы жуықтаманы бірнеше қадаммен өзгертіп, нақты шешімге жақындату. Жуықтама жеткілікті дәлдікке жеткеннен кейін, ол жүйеге шешім ретінде қабылданады. Бұл итеративтік әдістер класына алып келеді. Кейбір сиректе матрицалар үшін кездейсоқтықты қосу итеративтік әдістердің жылдамдығын арттырады. Итеративтік әдістің бір мысалы – Якоби әдісі, онда матрица диагональдық және диагональдық емес компоненттерге бөлінеді. Алғашқы болжам алгоритмнің басында қолданылады. Әр келесі болжам итеративтік теңдеуді пайдаланып есептеледі: болжамдар арасындағы айырмашылық жеткілікті кішкентай болғанда, алгоритм шешімге жеткені айтылады. Сонымен қатар, сызықтық теңдеулер жүйелері үшін кванттық алгоритм де бар.
When the difference between guesses and is sufficiently small, the algorithm is said to have converged on the solution. There is also a quantum algorithm for linear systems of equations.
Біртекті ерітінді жиынтығы
Кез келген гомогенді жүйеде кем дегенде бір шешім болады, ол нөлдік (немесе тривиалды) шешім деп аталады және оны әрбір айнымалыға нөл мәнін беру арқылы алуға болады. Егер жүйеде сингуляр емес матрица болса (det(A) ≠ 0), онда ол ғана шешім болады. Егер жүйеде сингуляр матрица болса, онда шешімдер саны шексіз болатын шешімдер жиынтығы болады. Бұл шешімдер жиынтығының келесі қосымша қасиеттері бар: егер u және v гомогенді жүйенің шешімдерін көрсететін екі вектор болса, онда u + v векторлық қосындысы да жүйенің шешімі болады. Егер u гомогенді жүйенің шешімін көрсететін вектор болса, ал r кез келген скаляр болса, онда ru да жүйенің шешімі болады. Бұл, Rn-нің сызықтық ішкі кеңістігі болуы үшін қажетті қасиеттердің өзі. Атап айтқанда, гомогенді жүйенің шешімдер жиынтығы сәйкес А матрицасының нөлдік кеңістігімен бірдей.
If u and v are two vectors representing solutions to a homogeneous system, then the vector sum u + v is also a solution to the system. If u is a vector representing a solution to a homogeneous system, and r is any scalar, then ru is also a solution to the system. These are exactly the properties required for the solution set to be a linear subspace of Rn. In particular, the solution set to a homogeneous system is the same as the null space of the corresponding matrix A.