Категория теориясындағы субфункторлар – жиынға ұқсас, категорияның ішкі бөлігі. Гомофункторлардың ішкі түрлері, объектілермен байланысы бар. Математикалық түсініктер.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Категориялар теориясында, математиканың бір саласында, субфунктор – жиынның ішкі жиынына ұқсас функтордың ерекше түрі.
In category theory, a branch of mathematics, a subfunctor is a special type of functor that is an analogue of a subset.
Ескертпелер
Жалпы субфункторлар – бұл жиынның жаһандық түріне ұқсас. Мысалы, егер C санатындағы нысандарды топологиялық кеңістіктің ашық жиындарымен салыстырсақ, онда C санатынан жиындар санатына бағытталмаған функтор C-дегі жиындық алдынғы шоғырды (presheaf) береді, яғни ол C нысандарына C-нің бағыттарымен үйлесімді түрде жиындарды сәйкестендіреді. Ал субфунктор әр жиынға сәйкес жиынның ішкі жиынын тағайындайды, бұл да үйлесімді түрде жүзеге асырылады. Субфункторлардың ең маңызды мысалдары – Hom функторының субфункторлары. c – C санатының нысаны болсын, және Hom(−, c) функторын қарастырайық. Бұл функтор C санатының нысанын қабылдап, барлық → c морфизмдерін береді. Hom(−, c) функторының субфункторы тек қана морфизмдердің бір бөлігін береді. Мұндай субфунктор сілем (sieve) деп аталады, және ол көбінесе Гротендик топологиясын анықтау үшін қолданылады.
Subfunctors in general are like global versions of subsets. For example, if one imagines the objects of some category C to be analogous to the open sets of a topological space, then a contravariant functor from C to the category of sets gives a set valued presheaf on C, that is, it associates sets to the objects of C in a way that is compatible with the arrows of C. A subfunctor then associates a subset to each set, again in a compatible way. The most important examples of subfunctors are subfunctors of the Hom functor. Let c be an object of the category C, and consider the functor Hom(−, c). This functor takes an object of C and gives back all of the morphisms → c. A subfunctor of Hom(−, c) gives back only some of the morphisms. Such a subfunctor is called a sieve, and it is usually used when defining Grothendieck topologies.
Ашық субфункторлар
Субфункторлар сақиналы кеңістіктер санатында бейнеленетін функторларды құру үшін де қолданылады. F сақиналы кеңістіктер санатынан жиындар санатына қайта функтор болсын, ал G ⊆ F. Егер бұл G → F кіріктіру морфизмі ашық енгізулер арқылы бейнеленетін болса, яғни кез келген бейнеленетін функтор Hom(−, X) және Hom(−, X) → F кез келген морфизмі үшін, G ×F Hom(−, X) талшықты көбейтіндісі бейнеленетін функтор Hom(−, Y) болып табылады және Йонеда леммасымен анықталған Y → X морфизмі ашық енгізу болса, онда G F-тің ашық субфункторы деп аталады. Егер F бейнеленетін ашық субфункторлармен жабылған болса, онда белгілі бір шарттарда F-тің бейнеленетінін көрсетуге болады. Бұл сақиналы кеңістіктерді құру үшін пайдалы техника. Оны Александр Гротендик ашқан және кеңінен пайдаланған, әсіресе схемалар жағдайында қолданған. Ресми тұжырымдама мен дәлелдеме үшін қараңыз: Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, 1-том, 2-басылым, 0-тарау, 4.5-бөлім.
Subfunctors are also used in the construction of representable functors on the category of ringed spaces. Let F be a contravariant functor from the category of ringed spaces to the category of sets, and let G ⊆ F. Suppose that this inclusion morphism G → F is representable by open immersions, i. e., for any representable functor Hom(−, X) and any morphism Hom(−, X) → F, the fibered product G×FHom(−, X) is a representable functor Hom(−, Y) and the morphism Y → X defined by the Yoneda lemma is an open immersion. Then G is called an open subfunctor of F. If F is covered by representable open subfunctors, then, under certain conditions, it can be shown that F is representable. This is a useful technique for the construction of ringed spaces. It was discovered and exploited heavily by Alexander Grothendieck, who applied it especially to the case of schemes. For a formal statement and proof, see Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, vol. 1, 2nd ed., chapter 0, section 4.5.