Субфункторы в теории категорий: определение, примеры (Hom-функтор). Аналог подмножеств, глобальные версии для объектов категорий. Математика, presheaf.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В теории категорий, области математики, субфунктор — это особый тип функтора, являющийся аналогом подмножества.
In category theory, a branch of mathematics, a subfunctor is a special type of functor that is an analogue of a subset.
Замечания
Субфункторы в целом похожи на глобальные версии подмножеств. Например, если представить объекты некоторой категории C аналогичными открытым множествам топологического пространства, то контрвариантный функтор из C в категорию множеств задает предпучок, принимающий значения в множествах на C, то есть он сопоставляет множества объектам C способом, согласованным со стрелками C. Субфунктор, в свою очередь, сопоставляет подмножество каждому множеству, также согласованным образом. Наиболее важными примерами субфункторов являются субфункторы функтора Hom. Пусть c – объект категории C и рассмотрим функтор Hom(−, c). Этот функтор принимает объект из C и возвращает все морфизмы в c. Субфунктор Hom(−, c) возвращает лишь некоторые из этих морфизмов. Такой субфунктор называется ситом и обычно используется при определении топологий Гротендика.
Subfunctors in general are like global versions of subsets. For example, if one imagines the objects of some category C to be analogous to the open sets of a topological space, then a contravariant functor from C to the category of sets gives a set valued presheaf on C, that is, it associates sets to the objects of C in a way that is compatible with the arrows of C. A subfunctor then associates a subset to each set, again in a compatible way. The most important examples of subfunctors are subfunctors of the Hom functor. Let c be an object of the category C, and consider the functor Hom(−, c). This functor takes an object of C and gives back all of the morphisms → c. A subfunctor of Hom(−, c) gives back only some of the morphisms. Such a subfunctor is called a sieve, and it is usually used when defining Grothendieck topologies.
Открытые подфункторы
Субфункторы также используются при построении представляемых функторов на категории кольцевых пространств. Пусть F — контравариантный функтор из категории кольцевых пространств в категорию множеств, и пусть G ⊆ F. Предположим, что это включение G → F представимо открытыми погружениями, то есть для любого представляемого функтора Hom(−, X) и любого морфизма Hom(−, X) → F, волокнистое произведение G ×F Hom(−, X) является представляемым функтором Hom(−, Y), а морфизм Y → X, определенный леммой Йонеды, является открытым погружением. Тогда G называется открытым субфунктором F. Если F покрыто представляемыми открытыми субфункторами, то при определенных условиях можно показать, что F представляем. Это полезный метод построения кольцевых пространств. Он был открыт и активно использовался Александром Гротендиком, который особенно применил его к случаю схем. Для точной формулировки и доказательства см. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, vol. 1, 2-е изд., глава 0, раздел 4.5.
Subfunctors are also used in the construction of representable functors on the category of ringed spaces. Let F be a contravariant functor from the category of ringed spaces to the category of sets, and let G ⊆ F. Suppose that this inclusion morphism G → F is representable by open immersions, i. e., for any representable functor Hom(−, X) and any morphism Hom(−, X) → F, the fibered product G×FHom(−, X) is a representable functor Hom(−, Y) and the morphism Y → X defined by the Yoneda lemma is an open immersion. Then G is called an open subfunctor of F. If F is covered by representable open subfunctors, then, under certain conditions, it can be shown that F is representable. This is a useful technique for the construction of ringed spaces. It was discovered and exploited heavily by Alexander Grothendieck, who applied it especially to the case of schemes. For a formal statement and proof, see Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, vol. 1, 2nd ed., chapter 0, section 4.5.