Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Категориялар теориясында, математиканың бір саласы, сілем – ортақ кодомені бар жебелерді таңдаудың тәсілі. Бұл топологиядағы белгілі бір ашық жиынның ашық ішкі жиындары жиынтығының категориялық аналогы. Гротендик топологиясында, кейбір сілемдер топологиядағы ашық жабындардың категориялық аналогтарына айналады. Сілемдер Гротендик топологиясы түсінігін қайта формулилеу мақсатымен енгізілді.
In category theory, a branch of mathematics, a sieve is a way of choosing arrows with a common codomain. It is a categorical analogue of a collection of open subsets of a fixed open set in topology. In a Grothendieck topology, certain sieves become categorical analogues of open covers in topology. Sieves were introduced by in order to reformulate the notion of a Grothendieck topology.
Анықтама
C санаты болсын, және c – C объектісі болсын. C-дегі сілем Hom(−, c) фукторының субфункторы, яғни, C-дегі барлық c′ объектілері үшін S(c′) ⊆ Hom(c′, c), ал барлық f: c″→c′ жебелері үшін S(f) – Hom(f, c) шектеуі, яғни f арқылы кері тартылу (талшықтық емес, алдын ала құрастыру мағынасында) S(c′) жиымына; төмендегі келесі бөлімді қараңыз. Басқаша айтқанда, сілем – ортақ кодомені бөлісетін S жебелер жиыны, ол мына шартты қанағаттандырады: егер g: c″→c′ жебесі S жиынында болса және f: c‴→c″ – C-дегі кез келген жебе болса, онда gf жебесі де S жиынында болады. Осылайша, сілемдер сақина теориясындағы оң идеалдарға немесе рет теориясындағы сүзгілерге ұқсас.
Let C be a category, and let c be an object of C. A sieve on c is a subfunctor of Hom(−, c), i. e., for all objects c′ of C, S(c′) ⊆ Hom(c′, c), and for all arrows f:c″→c′, S(f) is the restriction of Hom(f, c), the pullback by f (in the sense of precomposition, not of fiber products), to S(c′); see the next section, below. Put another way, a sieve is a collection S of arrows with a common codomain that satisfies the condition, "If g:c′→c is an arrow in S, and if f:c″→c′ is any other arrow in C, then gf is in S." Consequently, sieves are similar to right ideals in ring theory or filters in order theory.
Сипалардың қасиеттері
S және S′ c-де екі сырға болса, S ⊆ S′ деп айтамыз, егер барлық C объектілері үшін c′ болса, S(c′) ⊆ S′(c′) болса. C-тің барлық d объектілері үшін (S ∪ S′)(d) = S(d) ∪ S′(d) және (S ∩ S′)(d) = S(d) ∩ S′(d) деп анықтаймыз. Бұл анықтаманы шексіз одақтар мен қиылыстарға да қолдануға болады. Егер SieveC(c) (немесе қысқаша Sieve(c)) – c-дегі барлық сырғалардың жиыны деп анықтасақ, онда Sieve(c) ⊆ бойынша ішінара реттелген болады. Анықтамадан кез келген c-тегі сырғалар отбасының бірігуі немесе қиылысуы c-тегі сырға екенін көру оңай, сондықтан Sieve(c) толық тор болып табылады. Гротендик топологиясы – белгілі бір қасиеттерге ие сырғалар жиынтығы. Бұл сырғалар жапқыш сырғалар деп аталады. C объектідегі барлық жапқыш сырғалардың жиыны J(c) – Sieve(c) кіші жиыны болып табылады. J(c) анықтамада талап етілетін қасиеттерге қоса бірнеше қасиеттерді қанағаттандырады:
Let S and S′ be two sieves on c. We say that S ⊆ S′ if for all objects c′ of C, S(c′) ⊆ S′(c′). For all objects d of C, we define (S ∪ S′)(d) to be S(d) ∪ S′(d) and (S ∩ S′)(d) to be S(d) ∩ S′(d). We can clearly extend this definition to infinite unions and intersections as well. If we define SieveC(c) (or Sieve(c) for short) to be the set of all sieves on c, then Sieve(c) becomes partially ordered under ⊆. It is easy to see from the definition that the union or intersection of any family of sieves on c is a sieve on c, so Sieve(c) is a complete lattice. A Grothendieck topology is a collection of sieves subject to certain properties. These sieves are called covering sieves. The set of all covering sieves on an object c is a subset J(c) of Sieve(c). J(c) satisfies several properties in addition to those required by the definition:
Егер S және S′ c-де сырғалар болса, S ⊆ S′ және S ∈ J(c) болса, онда S′ ∈ J(c). J(c) элементтерінің шекті қиылыстары J(c)-те болады. Нәтижесінде J(c) де үлестіруші тор болып табылады және ол Sieve(c)-де кофинал болып табылады.
If S and S′ are sieves on c, S ⊆ S′, and S ∈ J(c), then S′ ∈ J(c). Finite intersections of elements of J(c) are in J(c). Consequently, J(c) is also a distributive lattice, and it is cofinal in Sieve(c).