Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В теории категорий, области математики, сито — это способ выбора стрелок с общим кодоменом. Оно является категорной аналогией набора открытых подмножеств фиксированного открытого множества в топологии. В гротендиковой топологии некоторые сита становятся категорными аналогиями открытых покрытий в топологии. Сита были введены для переформулировки понятия гротендиковой топологии.
In category theory, a branch of mathematics, a sieve is a way of choosing arrows with a common codomain. It is a categorical analogue of a collection of open subsets of a fixed open set in topology. In a Grothendieck topology, certain sieves become categorical analogues of open covers in topology. Sieves were introduced by in order to reformulate the notion of a Grothendieck topology.
Определение
Пусть C — категория, и пусть c — объект в C. Сито на c — это субфунктор Hom(−, c), то есть для всех объектов c′ в C, S(c′) ⊆ Hom(c′, c), и для всех морфизмов f: c″ → c′, S(f) является ограничением Hom(f, c), полученным посредством предкомпозиции с f (а не посредством произведения по волокнам), к S(c′); см. следующий раздел ниже. Иными словами, сито — это множество S морфизмов с общим кодоменом, удовлетворяющее условию: "Если g: c′ → c — морфизм в S, и если f: c″ → c′ — любой другой морфизм в C, то gf принадлежит S". Следовательно, сита аналогичны правым идеалам в теории колец или фильтрам в теории порядка.
Let C be a category, and let c be an object of C. A sieve on c is a subfunctor of Hom(−, c), i. e., for all objects c′ of C, S(c′) ⊆ Hom(c′, c), and for all arrows f:c″→c′, S(f) is the restriction of Hom(f, c), the pullback by f (in the sense of precomposition, not of fiber products), to S(c′); see the next section, below. Put another way, a sieve is a collection S of arrows with a common codomain that satisfies the condition, "If g:c′→c is an arrow in S, and if f:c″→c′ is any other arrow in C, then gf is in S." Consequently, sieves are similar to right ideals in ring theory or filters in order theory.
Свойства ситов
Пусть S и S′ — два сита на c. Мы говорим, что S ⊆ S′, если для всех объектов c′ из C, S(c′) ⊆ S′(c′). Для всех объектов d из C, мы определяем (S ∪ S′)(d) как S(d) ∪ S′(d) и (S ∩ S′)(d) как S(d) ∩ S′(d). Мы можем очевидно расширить это определение на бесконечные объединения и пересечения. Если мы определим SieveC(c) (или Sieve(c) для краткости) как множество всех сит на c, то Sieve(c) становится частично упорядоченным относительно ⊆. Из определения легко увидеть, что объединение или пересечение любого семейства сит на c является ситом на c, поэтому Sieve(c) является полной решеткой. Топология Гротендика — это совокупность сит, удовлетворяющих определенным свойствам. Эти сита называются покрывающими ситами. Множество всех покрывающих сит на объекте c является подмножеством J(c) множества Sieve(c). J(c) удовлетворяет нескольким свойствам в дополнение к тем, которые требуются по определению:
Let S and S′ be two sieves on c. We say that S ⊆ S′ if for all objects c′ of C, S(c′) ⊆ S′(c′). For all objects d of C, we define (S ∪ S′)(d) to be S(d) ∪ S′(d) and (S ∩ S′)(d) to be S(d) ∩ S′(d). We can clearly extend this definition to infinite unions and intersections as well. If we define SieveC(c) (or Sieve(c) for short) to be the set of all sieves on c, then Sieve(c) becomes partially ordered under ⊆. It is easy to see from the definition that the union or intersection of any family of sieves on c is a sieve on c, so Sieve(c) is a complete lattice. A Grothendieck topology is a collection of sieves subject to certain properties. These sieves are called covering sieves. The set of all covering sieves on an object c is a subset J(c) of Sieve(c). J(c) satisfies several properties in addition to those required by the definition:
Если S и S′ — сита на c, S ⊆ S′, и S ∈ J(c), то S′ ∈ J(c). Конечные пересечения элементов J(c) находятся в J(c). Следовательно, J(c) также является распределительной решеткой, и она кофинальна в Sieve(c).
If S and S′ are sieves on c, S ⊆ S′, and S ∈ J(c), then S′ ∈ J(c). Finite intersections of elements of J(c) are in J(c). Consequently, J(c) is also a distributive lattice, and it is cofinal in Sieve(c).