Кіріспе
Математикада L функцияларының нақты формулалары – L функциясының кешенді нөлдері бойынша алынған қосындылар мен жай санның дәрежелері бойынша алынған қосындылар арасындағы байланыстарды білдіреді, бұл Риман зета функциясы үшін алғаш рет енгізілген. Мұндай нақты формулалар алгебралық сан денесінің дискриминантын шектеу және сан денесінің өткізгішін анықтау мәселелерінде де қолданылған.
Жалпылау
Риманның зетта функциясы Дирихлет мінездемесі χ-нің Дирихлеттің L-функциясымен алмастырылуы мүмкін. Жақын жай санның дәрежелерінің қосындысына χ(p^m) қосымша көбейткіштері қосылады, ал Φ(1) және Φ(0) мүшелері L-қатарында полюстер болмағандықтан жоғалады. Көбінесе, Риманның зетта функциясы және L-қатары алгебралық сан денесінің Дедекинд зетта функциясымен немесе Гекке L-қатарымен алмастырылуы мүмкін. Бұл жағдайда жай сандардың қосындысы жай идеалдардың қосындысымен ауыстырылады.
factors of χ(p m), and the terms Φ(1) and Φ(0) disappear because the L series has no poles. More generally, the Riemann zeta function and the L series can be replaced by the Dedekind zeta function of an algebraic number field or a Hecke L series. The sum over primes then gets replaced by a sum over prime ideals.
Қолданбалар
Риманның эксплицитті формуланы алғаш рет қолдануы берілген сандан кіші жай сандардың санын табу үшін нақты формула беру болды. Мұны істеу үшін, 0 ≤ y ≤ x үшін F(log(y)) функциясын y1/2/log(y) деп, ал қалған жерлерде 0 деп қабылдаңыз. Оң жақтағы қосындының негізгі мүшесі – x-тен кіші жай сандардың саны. Сол жақтағы негізгі мүше – Φ(1); ол жай сандар теоремасының басым мүшелері болып табылады, ал негізгі түзету – дзета функциясының тривиалды емес нөлдері бойынша қосынды. (Бұл жағдайда F функциясы тегіс болу шартын қанағаттандырмауына байланысты шағын техникалық мәселе бар.)
Гилберт-Поля болжамы
Хилберт–Поля болжамына сәйкес, ρ кешенді нөлдері белгілі бір сызықты оператор T-ның өзіндік мәндері болуы керек. Эксплицитті формуланың нөлдері бойынша қосындысы (кем дегенде формальды түрде) із арқылы беріледі:
L функцияларының кең класы үшін эксплицитті формулаларды әзірлеуді алғаш рет осы идеяны жергілікті зетта-функцияларға кеңейткен және осы контексте жалпыланған Риман гипотезасының нұсқасын тұжырымдаған. Ален Коннның соңғы жұмыстары функционалдық аналитикалық негізге тереңдей түсіп, із формуласын ұсынды, оның дұрыстығы осындай жалпыланған Риман гипотезасына эквивалентті. Сәл өзгеше көзқараспен, Вейльдің эксплицитті формуласын аделикалық кеңістіктердегі гармоникалық талдау арқылы шығарған.