Явные формулы для L-функций и связь с распределением простых чисел

Введение

В математике явные формулы для L-функций — это соотношения между суммами по комплексным нулям L-функции и суммами по простым степеням, впервые введенные для дзета-функции Римана. Такие формулы также применяются к задачам об оценке дискриминанта алгебраического числового поля и проводника числового поля.

Обобщения

Функция Римана-дзета может быть заменена L-функцией Дирихле, соответствующей характеру Дирихле χ. Сумма по простым степеням тогда получает дополнительные множители χ(p^m), а члены Φ(1) и Φ(0) исчезают, поскольку L-ряд не имеет полюсов. В более общем случае, функцию Римана-дзета и L-ряд можно заменить дзета-функцией Дедекинда алгебраического числового поля или L-рядом Гекке. Сумма по простым числам тогда заменяется суммой по простым идеалам.

Приложения

Первоначальное использование Риманом явной формулы заключалось в получении точной формулы для количества простых чисел, меньших заданного числа. Для этого полагают F(log(y)) равным y^(1/2)/log(y) при 0 ≤ y ≤ x и 0 в противном случае. Тогда главный член суммы справа представляет собой количество простых чисел, меньших x. Главный член слева – Φ(1), который оказывается доминирующим членом в теореме о простых числах, а основная поправка – сумма по нетривиальным нулям дзета-функции. (Существует небольшая техническая проблема при использовании этого случая, заключающаяся в том, что функция F не удовлетворяет условию гладкости.)

Гильбертова гипотеза

Согласно гильбертовской гипотезе Польи, комплексные нули ρ должны быть собственными значениями некоторого линейного оператора T. Сумма по нулям явной формулы тогда (по крайней мере, формально) задается как след:

Разработка явных формул для широкого класса L-функций была предложена , который первым распространил эту идею на локальные дзета-функции и сформулировал версию обобщенной гипотезы Римана в этом контексте, как утверждение о положительности для обобщенной функции на топологической группе. Более поздние работы Алена Конна значительно углубили функционально-аналитическую основу, предоставив формулу следа, справедливость которой эквивалентна такой обобщенной гипотезе Римана. Несколько иной подход был предложен , который вывел явную формулу Вейля с помощью гармонического анализа на аделических пространствах.