Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Кристалл симметриясы туралы теорема
Theorem about admissible crystal symmetries
Кристаллографиялық шектеу теоремасы негізгі нұсқасында кристаллдың айналу симметриясы көбінесе 2-реттік, 3-реттік, 4-реттік және 6-реттік симметриялармен шектеледі деген байқауға негізделген. Дегенмен, квазикристалдар 5-реттік сияқты басқа дифракциялық симметриялармен де кездесе алады; мұндай симметриялар 1982 жылға дейін Дан Шехтман тарапынан ашылмаған. Кристалдар тәуелсіз шекті трансляциялар тізімі арқылы жасалған дискретті торлар ретінде модельделеді. Дискреттілік талабы тор нүктелері арасындағы қашықтықтың ең төменгі шегі болуын қажет етеді, сондықтан тордың кез келген нүктесіндегі айналу симметрияларының тобы шекті топ болуы керек (немесе, нүкте ғана шексіз айналу симметриясына мүмкіндік беретін жалғыз жүйе болып табылады). Теореманың маңыздылығы – барлық шекті топтар дискретті тормен үйлесімді емес; кез келген өлшемде тек шекті санда ғана үйлесімді топтар болады.
The crystallographic restriction theorem in its basic form was based on the observation that the rotational symmetries of a crystal are usually limited to 2 fold, 3 fold, 4 fold, and 6 fold. However, quasicrystals can occur with other diffraction pattern symmetries, such as 5 fold; these were not discovered until 1982 by Dan Shechtman. Crystals are modeled as discrete lattices, generated by a list of independent finite translations Because discreteness requires that the spacings between lattice points have a lower bound, the group of rotational symmetries of the lattice at any point must be a finite group (alternatively, the point is the only system allowing for infinite rotational symmetry). The strength of the theorem is that not all finite groups are compatible with a discrete lattice; in any dimension, we will have only a finite number of compatible groups.
2 және 3 өлшемдері
2D (қабырға қағаздары тобы) және 3D (кеңістік топтары) ерекше жағдайлары қолданыста ең көп қолданылады, және оларды бірге қарастыруға болады.
The special cases of 2D (wallpaper groups) and 3D (space groups) are most heavily used in applications, and they can be treated together.
Жатырлық қорғаныш
2-ші немесе 3-ші өлшемдегі айналу симметриясы тор нүктесін сол жазықтықтағы басқа тор нүктелеріне жылжытып, бір-біріне жанасқан тор нүктелерінен тұрақты көпбұрыш жасайды. Енді назарды симметрия әрекет ететін жазықтыққа шоғырландырамыз, ол суреттегі тор векторларымен көрсетілген. Енді 8 есе айналуды және көпбұрыштың іргелес нүктелері арасындағы орын ауыстыру векторларын қарастырайық. Егер кез келген екі тор нүктесі арасында орын ауыстыру болса, онда дәл сол орын ауыстыру тордың барлық жерінде қайталанады. Сондықтан барлық қабырғалық орын ауыстыруларды жинап, бір тор нүктесінен бастайық. Қабырға векторлары радиалдық векторларға айналады, ал олардың 8 есе симметриясы жинақтау нүктесінің айналасындағы тор нүктелерінен тұрақты сегізбұрыш құралатынын білдіреді. Бірақ бұл мүмкін емес, өйткені жаңа сегізбұрыштың мөлшері бастапқы сегізбұрыштан шамамен 80% кіші. Мөлшердің азаюының маңызы – оның шексіздігінде. Осы құрылысты жаңа сегізбұрышпен қайталап, тор нүктелері арасындағы қашықтық қалағанша кішірейгенше жалғастыруға болады; демек, ешқандай дискретті тор 8 есе симметрияға ие бола алмайды. Бұл аргумент k есе айналымға да қатысты, егер k 6-дан үлкен болса. Мөлшердің азаюы 5 есе симметрияны да жояды. Түйір тор нүктелерінен тұрақты бесбұрыш қарастырайық. Егер ол болса, онда біз әр екінші қабырғаның орын ауыстыруын алып, (басынан соңына дейін) 5 қырлы жұлдыз құрастырамыз, соңғы қабырға бастапқы нүктеге оралады. Мұндай жұлдыздың төбелері қайтадан 5 есе симметриялы тұрақты бесбұрыштың төбелері болып табылады, бірақ бастапқыдан шамамен 60% кіші. Осылайша теорема дәлелденді. Квазикристалдар мен Пенроуз плиткаларының болуы сызықтық трансляция болжамын қажет ететінін көрсетеді. Пенроуз плиткалары 5 есе айналу симметриясына және дискретті торға ие болуы мүмкін, плитканың кез келген жергілікті аймағы шексіз көп рет қайталанады, бірақ плитканың толық аудармасы болмайды. Ал дискретті тор болжамы болмаса, жоғарыдағы құрылыс тек қана қайшылыққа жетпейді, сонымен қатар (дискретті емес) қарсы мысал жасайды. Осылайша 5 есе айналу симметриясы осы болжамдардың бірін де жоққа шығаратын аргументпен жойылмайды. Бүкіл (шексіз) жазықтықтың Пенроуз плиткасы тек бір нүктеде 5 есе айналу симметриясына ие болуы мүмкін, ал 4 есе және 6 есе торларда айналу симметриясының шексіз көп орталықтары бар.
A rotation symmetry in dimension 2 or 3 must move a lattice point to a succession of other lattice points in the same plane, generating a regular polygon of coplanar lattice points. We now confine our attention to the plane in which the symmetry acts , illustrated with lattice vectors in the figure. Now consider an 8 fold rotation, and the displacement vectors between adjacent points of the polygon. If a displacement exists between any two lattice points, then that same displacement is repeated everywhere in the lattice. So collect all the edge displacements to begin at a single lattice point. The edge vectors become radial vectors, and their 8 fold symmetry implies a regular octagon of lattice points around the collection point. But this is impossible, because the new octagon is about 80% as large as the original. The significance of the shrinking is that it is unlimited. The same construction can be repeated with the new octagon, and again and again until the distance between lattice points is as small as we like; thus no discrete lattice can have 8 fold symmetry. The same argument applies to any k fold rotation, for k greater than 6. A shrinking argument also eliminates 5 fold symmetry. Consider a regular pentagon of lattice points. If it exists, then we can take every other edge displacement and (head to tail) assemble a 5 point star, with the last edge returning to the starting point. The vertices of such a star are again vertices of a regular pentagon with 5 fold symmetry, but about 60% smaller than the original. Thus the theorem is proved. The existence of quasicrystals and Penrose tilings shows that the assumption of a linear translation is necessary. Penrose tilings may have 5 fold rotational symmetry and a discrete lattice, and any local neighborhood of the tiling is repeated infinitely many times, but there is no linear translation for the tiling as a whole. And without the discrete lattice assumption, the above construction not only fails to reach a contradiction, but produces a (non discrete) counterexample. Thus 5 fold rotational symmetry cannot be eliminated by an argument missing either of those assumptions. A Penrose tiling of the whole (infinite) plane can only have exact 5 fold rotational symmetry (of the whole tiling) about a single point, however, whereas the 4 fold and 6 fold lattices have infinitely many centres of rotational symmetry.
Изометриялар бойынша пішімдеу
Кристаллографиялық шектеу теоремасын Евклид кеңістігінің изометриялары тұрғысынан тұжырымдауға болады. Изометриялар жиынтығы топ құрауы мүмкін. Дискретті изометрия тобы деп әрбір нүктені RN-нің дискретті ішкі жиынтығына бейнелейтін изометрия тобын атаймыз, яғни кез келген нүктенің орбитасы оқшауланған нүктелер жиынтығы болып табылады. Осы терминологияны қолдана отырып, екі және үш өлшемдегі кристаллографиялық шектеу теоремасын былай тұжырымдауға болады. Бүкіл кеңістікті қамтитын трансляцияларды қамтитын екі және үш өлшемді кеңістіктегі кез келген дискретті изометрия тобы үшін, барлық шекті реттік изометриялар 1, 2, 3, 4 немесе 6 реттік болады. n реттік изометрияларға n еселік айналулар жатады, бірақ олармен ғана шектелмейді. Теорема сонымен қатар S8, S12, D4d және D6d (үш өлшемдегі нүктелік топтарды қараңыз) топтарын да жоққа шығарады, тіпті олардың 4 және 6 еселік айналу симметриясы болса да. Остің бойымен кез келген реттік айналу симметриясы сол ось бойымен трансляциялық симметриямен үйлесімді. Жоғарыдағы кестедегі нәтижеге сәйкес, төрт және бес өлшемді кеңістіктегі бүкіл кеңістікті қамтитын трансляцияларды қамтитын кез келген дискретті изометрия тобы үшін, барлық шекті реттік изометриялар 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 немесе 12 реттік болады. Алты және жеті өлшемді кеңістіктегі барлық шекті реттік изометриялар 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 немесе 30 реттік болады.
The crystallographic restriction theorem can be formulated in terms of isometries of Euclidean space. A set of isometries can form a group. By a discrete isometry group we will mean an isometry group that maps each point to a discrete subset of RN, i. e. the orbit of any point is a set of isolated points. With this terminology, the crystallographic restriction theorem in two and three dimensions can be formulated as follows. For every discrete isometry group in two and three dimensional space which includes translations spanning the whole space, all isometries of finite order are of order 1, 2, 3, 4 or 6. Isometries of order n include, but are not restricted to, n fold rotations. The theorem also excludes S8, S12, D4d, and D6d (see point groups in three dimensions), even though they have 4 and 6 fold rotational symmetry only. Rotational symmetry of any order about an axis is compatible with translational symmetry along that axis. The result in the table above implies that for every discrete isometry group in four and five dimensional space which includes translations spanning the whole space, all isometries of finite order are of order 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, or 12. All isometries of finite order in six and seven dimensional space are of order 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 or 30 .