Теорема о допустимых симметриях кристаллов

Введение

Теорема о кристаллографическом ограничении в своей базовой формулировке основывалась на наблюдении, что ротационные симметрии кристалла обычно ограничиваются двукратной, трехкратной, четырехкратной и шестикратной. Однако квазикристаллы могут проявлять и другие симметрии дифракционной картины, например, пятикратную; они были впервые обнаружены в 1982 году Дэном Шехтманом. Кристаллы моделируются как дискретные решетки, порождаемые списком независимых конечных сдвигов. Поскольку дискретность требует, чтобы расстояния между узлами решетки имели нижнюю границу, группа ротационных симметрий решетки в любой точке должна быть конечной группой (или, альтернативно, точка является единственной системой, допускающей бесконечную ротационную симметрию). Суть теоремы заключается в том, что не все конечные группы совместимы с дискретной решеткой; в любом измерении существует лишь конечное число совместимых групп.

Размеры 2 и 3

Особые случаи двумерных (группы обоев) и трехмерных (пространственные группы) симметрий наиболее часто применяются на практике, и их можно рассматривать совместно.

Не подвержены решетке

Ротационная симметрия в двух или трех измерениях должна перемещать точку решетки в последовательность других точек решетки в той же плоскости, образуя правильный многоугольник из компланарных точек решетки. Теперь мы ограничим наше внимание плоскостью, в которой действует симметрия, что иллюстрируется решетчатыми векторами на рисунке. Рассмотрим теперь 8-кратное вращение и векторы смещения между соседними точками многоугольника. Если между любыми двумя точками решетки существует смещение, то это же смещение повторяется во всей решетке. Поэтому соберем все смещения сторон, начиная с одной точки решетки. Смещения сторон становятся радиальными векторами, и их 8-кратная симметрия подразумевает правильный восьмиугольник из точек решетки вокруг точки сбора. Но это невозможно, потому что новый восьмиугольник примерно на 80% меньше исходного. Важность уменьшения в том, что оно неограниченно. Ту же конструкцию можно повторить с новым восьмиугольником, и снова и снова, пока расстояние между точками решетки не станет настолько малым, насколько мы захотим; таким образом, никакая дискретная решетка не может иметь 8-кратную симметрию. Тот же аргумент применим к любому k-кратному вращению, при k больше 6. Аргумент о сжатии также исключает 5-кратную симметрию. Рассмотрим правильный пятиугольник из точек решетки. Если он существует, то мы можем взять каждое второе смещение стороны и (соединяя последовательно «головка к хвосту») собрать 5-конечную звезду, при этом последний отрезок возвращается к начальной точке. Вершины такой звезды снова являются вершинами правильного пятиугольника с 5-кратной симметрией, но примерно на 60% меньше исходного. Таким образом, теорема доказана. Существование квазикристаллов и мозаик Пенроуза показывает, что предположение о линейном трансляционном переносе необходимо. Мозаики Пенроуза могут иметь 5-кратную вращательную симметрию и дискретную решетку, и любая локальная окрестность мозаики повторяется бесконечно много раз, но для мозаики в целом нет линейного трансляционного переноса. И без предположения о дискретной решетке вышеуказанная конструкция не только не приводит к противоречию, но и дает (недискретный) контрпример. Таким образом, 5-кратная вращательная симметрия не может быть исключена аргументом, которому не хватает одного из этих предположений. Однако мозаика Пенроуза всей (бесконечной) плоскости может иметь только точную 5-кратную вращательную симметрию (всей мозаики) относительно одной точки, в то время как 4-кратные и 6-кратные решетки имеют бесконечно много центров вращательной симметрии.

A rotation symmetry in dimension 2 or 3 must move a lattice point to a succession of other lattice points in the same plane, generating a regular polygon of coplanar lattice points. We now confine our attention to the plane in which the symmetry acts , illustrated with lattice vectors in the figure. Now consider an 8 fold rotation, and the displacement vectors between adjacent points of the polygon. If a displacement exists between any two lattice points, then that same displacement is repeated everywhere in the lattice. So collect all the edge displacements to begin at a single lattice point. The edge vectors become radial vectors, and their 8 fold symmetry implies a regular octagon of lattice points around the collection point. But this is impossible, because the new octagon is about 80% as large as the original. The significance of the shrinking is that it is unlimited. The same construction can be repeated with the new octagon, and again and again until the distance between lattice points is as small as we like; thus no discrete lattice can have 8 fold symmetry. The same argument applies to any k fold rotation, for k greater than 6. A shrinking argument also eliminates 5 fold symmetry. Consider a regular pentagon of lattice points. If it exists, then we can take every other edge displacement and (head to tail) assemble a 5 point star, with the last edge returning to the starting point. The vertices of such a star are again vertices of a regular pentagon with 5 fold symmetry, but about 60% smaller than the original. Thus the theorem is proved. The existence of quasicrystals and Penrose tilings shows that the assumption of a linear translation is necessary. Penrose tilings may have 5 fold rotational symmetry and a discrete lattice, and any local neighborhood of the tiling is repeated infinitely many times, but there is no linear translation for the tiling as a whole. And without the discrete lattice assumption, the above construction not only fails to reach a contradiction, but produces a (non discrete) counterexample. Thus 5 fold rotational symmetry cannot be eliminated by an argument missing either of those assumptions. A Penrose tiling of the whole (infinite) plane can only have exact 5 fold rotational symmetry (of the whole tiling) about a single point, however, whereas the 4 fold and 6 fold lattices have infinitely many centres of rotational symmetry.

Формулировка с точки зрения изометрий

Теорема о кристаллографическом ограничении может быть сформулирована в терминах изометрий евклидова пространства. Набор изометрий может образовывать группу. Под дискретной группой изометрий мы будем понимать группу изометрий, отображающую каждую точку в дискретное подмножество RN, то есть орбита любой точки является множеством изолированных точек. Используя эту терминологию, теорему о кристаллографическом ограничении в двух и трех измерениях можно сформулировать следующим образом. Для каждой дискретной группы изометрий в двух- и трехмерном пространстве, включающей трансляции, охватывающие все пространство, все изометрии конечного порядка имеют порядок 1, 2, 3, 4 или 6. Изометрии порядка n включают, но не ограничиваются, n-кратными поворотами. Теорема также исключает S8, S12, D4d и D6d (см. точечные группы в трех измерениях), несмотря на то, что они обладают только 4-кратной и 6-кратной вращательной симметрией. Вращательная симметрия любого порядка относительно оси совместима с трансляционной симметрией вдоль этой оси. Результат, представленный в таблице выше, подразумевает, что для каждой дискретной группы изометрий в четырех- и пятимерном пространстве, включающей трансляции, охватывающие все пространство, все изометрии конечного порядка имеют порядок 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 или 12. Все изометрии конечного порядка в шести- и семимерном пространстве имеют порядок 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 или 30.