Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикалық сипаттамалық жиын теориясы саласында, поляк кеңістігінің ішкі жиыны, егер ол санаулы болса немесе бос емес толық ішкі жиыны болса, толық жиын қасиетіне ие болады (Kechris 1995, 150 б.). Толық жиын қасиетіне ие болу, толық жиын болумен бірдей емес екеніне назар аударыңыз. Поляк кеңістігіндегі бос емес толық жиындар әрқашан континуумның кардиналдығына ие, ал нақты сандар поляк кеңістігін құрайды, сондықтан толық жиын қасиетіне ие нақты сандар жиыны континуум гипотезасына қарсы мысал бола алмайды, яғни әрбір санауға келмейтін нақты сандар жиыны континуумның кардиналдығына ие деген тұжырымға. Кантор-Бендикссон теоремасы поляк кеңістігінің X жабық жиындары толық жиын қасиетіне ерекше күшті түрінде ие екенін айтады: X-тің кез келген жабық ішкі жиыны толық жиын мен санаулы жиынның ажыратылған біріктіретіні ретінде бірегей түрде жазылуы мүмкін. Атап айтқанда, әрбір санауға келмейтін поляк кеңістігі толық жиын қасиетіне ие және оны толық жиын мен санаулы ашық жиынның ажыратылған біріктіретіні ретінде жазуға болады. Таңдау аксиомасы Бернштейн жиындары сияқты толық жиын қасиетіне ие емес нақты сандар жиындарының бар екендігін білдіреді. Дегенмен, ZF аксиомаларының барлығын қанағаттандыратын, бірақ таңдау аксиомасын қанағаттандырмайтын Соловай моделінде, нақты сандардың әрбір жиыны толық жиын қасиетіне ие, сондықтан таңдау аксиомасын қолдану қажет. Әрбір аналитикалық жиын толық жиын қасиетіне ие. Жеткілікті үлкен кардиналдардың бар екендігінен, әрбір проективті жиын толық жиын қасиетіне ие екендігі шығады.
In the mathematical field of descriptive set theory, a subset of a Polish space has the perfect set property if it is either countable or has a nonempty perfect subset (Kechris 1995, p. 150). Note that having the perfect set property is not the same as being a perfect set. As nonempty perfect sets in a Polish space always have the cardinality of the continuum, and the reals form a Polish space, a set of reals with the perfect set property cannot be a counterexample to the continuum hypothesis, stated in the form that every uncountable set of reals has the cardinality of the continuum. The Cantor–Bendixson theorem states that closed sets of a Polish space X have the perfect set property in a particularly strong form: any closed subset of X may be written uniquely as the disjoint union of a perfect set and a countable set. In particular, every uncountable Polish space has the perfect set property, and can be written as the disjoint union of a perfect set and a countable open set. The axiom of choice implies the existence of sets of reals that do not have the perfect set property, such as Bernstein sets. However, in Solovay's model, which satisfies all axioms of ZF but not the axiom of choice, every set of reals has the perfect set property, so the use of the axiom of choice is necessary. Every analytic set has the perfect set property. It follows from the existence of sufficiently large cardinals that every projective set has the perfect set property.
Жалпылау
Ең кіші саналмайтын ординал деп белгілейік. Өзімен-өзінің α-қатты декарты көбейтіндісінен туындаған Baire кеңістігінің аналогында, кез келген жабық жиын – толық жиынның және күш жиынының ажыратылған біріктірілісі болып табылады, мұнда жиынның жабықтығы, оның мүшелері ойналатын топтық ойын арқылы анықталады.
Let be the least uncountable ordinal. In an analog of Baire space derived from the fold cartesian product of with itself, any closed set is the disjoint union of an perfect set and a set of cardinality , where closedness of a set is defined via a topological game in which members of are played.