Введение
В математической области описательной теории множеств, подмножество польского пространства обладает свойством совершенного множества, если оно либо счетно, либо содержит непустое совершенное подмножество (Kechris 1995, с. 150). Следует отметить, что обладание свойством совершенного множества не равносильно тому, чтобы быть совершенным множеством. Поскольку непустые совершенные множества в польском пространстве всегда имеют мощность континуума, а множество действительных чисел является польским пространством, множество действительных чисел, обладающее свойством совершенного множества, не может служить контрпримером к гипотезе континуума, сформулированной в виде утверждения о том, что любое не счетное множество действительных чисел имеет мощность континуума. Теорема Кантора — Бендиксона утверждает, что замкнутые множества польского пространства X обладают свойством совершенного множества в особенно сильной форме: любое замкнутое подмножество X можно единственным образом представить как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного множества. В частности, любое не счетное польское пространство обладает свойством совершенного множества и может быть представлено как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного открытого множества. Аксиома выбора влечет за собой существование множеств действительных чисел, не обладающих свойством совершенного множества, таких как множества Бернштейна. Однако в модели Соловая, которая удовлетворяет всем аксиомам ZF, но не аксиоме выбора, каждое множество действительных чисел обладает свойством совершенного множества, следовательно, использование аксиомы выбора необходимо. Каждое аналитическое множество обладает свойством совершенного множества. Из существования достаточно больших кардиналов следует, что каждое проективное множество обладает свойством совершенного множества.
Обобщения
Пусть ω₁ будет наименьшим неисчислимым ординалом. В аналоге пространства Байра, построенном на основе ω₁-кратного декартова произведения множества a с самим собой, любое замкнутое множество является непересекающимся объединением совершенного множества и множества мощности continuum, где замкнутость множества определяется посредством топологической игры, в которой участвуют элементы a.