Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, поляк кеңістігінің ішкі жиыны, егер ол сол кеңістіктегі барлық Борель жиынтықтарын өлшейтін әрбір толық ықтималдық өлшемі бойынша өлшенетін болса, әмбебап өлшенетін болады. Атап айтқанда, әмбебап өлшенетін нақты сандар жиыны міндетті түрде Лебег өлшенетін болады (төменде қараңыз). Кез келген аналитикалық жиын әмбебап өлшенетін болады. Проективті анықтықтан, ал ол өз кезегінде жеткілікті үлкен кардиналдардан туындайды, барлық проективті жиын әмбебап өлшенетін болады.
In mathematics, a subset of a Polish space is universally measurable if it is measurable with respect to every complete probability measure on that measures all Borel subsets of In particular, a universally measurable set of reals is necessarily Lebesgue measurable (see below). Every analytic set is universally measurable. It follows from projective determinacy, which in turn follows from sufficient large cardinals, that every projective set is universally measurable.
Түпкіліктілік шарты
Өлшемнің ықтималдық өлшем болуы, яғни өзінің өлшемі 1-ге тең болуы керек деген талап, көрінетіндей қатаң емес. Мысалы, нақты сандардағы Лебег өлшемі ықтималдық өлшемі емес, бірақ кез келген жалпы өлшенетін жиын Лебег өлшенетін болады. Мұны түсіну үшін, нақты түзуді 1 ұзындығындағы санаулы көптеген интервалдарға бөлейік: N0=[0,1), N1=[1,2), N2=[2,3), N3=[3,4), N4=[4,5) және т.б. Енді μ-ді Лебег өлшемі деп алып, ν жаңа өлшемін былай анықтаймыз:
The condition that the measure be a probability measure; that is, that the measure of itself be 1, is less restrictive than it may appear. For example, Lebesgue measure on the reals is not a probability measure, yet every universally measurable set is Lebesgue measurable. To see this, divide the real line into countably many intervals of length 1; say, N0=[0,1), N1=[1,2), N2=[ 1,0), N3=[2,3), N4=[ 2, 1), and so on. Now letting μ be Lebesgue measure, define a new measure ν by
Осылайша, ν нақты сандардағы ықтималдық өлшем болып табылады, және жиын ν-мен өлшенетін болса, ғана Лебег өлшенетін болады. Көбірек айтқанда, кез келген жалпы өлшенетін жиын, барлық Борель жиындарын өлшейтін кез келген сигма-шекті өлшемге қатысты өлшенетін болуы керек.
Then easily ν is a probability measure on the reals, and a set is ν measurable if and only if it is Lebesgue measurable. More generally a universally measurable set must be measurable with respect to every sigma finite measure that measures all Borel sets.
Лебег өлшегіштігімен қарама-қарсы үлгі
Кантoр кеңістігінің ішкі жиыны деп есептейік; яғни нөлдер мен бірлердің шексіз тізбектерінің жиыны. Мұндай тізбектің басына екілік үтір қою арқылы, тізбекті 0 мен 1 (қоса алғанда) арасындағы нақты сан ретінде қарастыруға болады, бірақ бұл шамалы белгісіздік тудырады. Осылайша, біз оны [0,1] аралығының ішкі жиыны ретінде қарастырып, егер анықталған болса, оның Лебег өлшемін бағалай аламыз. Бұл шама кейде жиынның монета лақтыру өлшемі деп аталады, себебі ол әділ монетаны шексіз көп рет лақтырғанда, жиынның мүшесі болатын тыныш және құйрық тізбегін алу ықтималдығын көрсетеді. Таңдау аксиомасынан, Лебег өлшемі анықталмаған (немесе монета лақтыру өлшемі жоқ) кейбір жиындар бар екені шығады. Яғни, мұндай жиын үшін, әділ монетаны лақтырудың тізбегі осы жиынға түсу ықтималдығы анықталмайды. Бұл жиынның "өте күрделі" немесе "жаман мінезді" екенін көрсететін патологиялық қасиет. Мұндай жиыннан жаңа жиынды жасау үшін, әрбір тізбекте келесі операцияны орындаймыз: тізбектің әрбір жұп орнына 0 санын қойып, қалған сандарды орын босату үшін жылжытамыз. Бұл жиын интуитивті түрде қарапайым немесе жақсы мінезді болмаса да, монета лақтырудың тізбегі осы жиынға түсу ықтималдығы анықталған. Шындығында, жиынға кіру үшін монета әрбір жұп лақтыруда құйрық көрсетуі керек, бұл ықтималдығы нөлге тең. Дегенмен, бұл жиын жалпы өлшенбейді. Мұны көрсету үшін, оны жұп лақтыруда әрқашан құйрық, ал тақ лақтыруда әділ болатын монетамен тексеруге болады. Жиынның жалпы өлшенуі үшін, кез келген бұрыс монетаны қолдануға болады (тіпті бұрынғы лақтырулар тізбегін "есте сақтай алатын" монетаны да), және оның лақтырулар тізбегі жиынға түсу ықтималдығы анықталған болуы керек. Алайда, біз айтқан монетамен (жұп лақтыруда әрқашан құйрық, ал тақ лақтыруда әділ) тексергенде, жиынға түсу ықтималдығы анықталмайды (әділ монетамен тексеруге болмайтын себепті). Осылайша, бұл жиын жалпы өлшенбейді.
Suppose is a subset of Cantor space ; that is, is a set of infinite sequences of zeroes and ones. By putting a binary point before such a sequence, the sequence can be viewed as a real number between 0 and 1 (inclusive), with some unimportant ambiguity. Thus we can think of as a subset of the interval [0,1], and evaluate its Lebesgue measure, if that is defined. That value is sometimes called the coin flipping measure of , because it is the probability of producing a sequence of heads and tails that is an element of upon flipping a fair coin infinitely many times. Now it follows from the axiom of choice that there are some such without a well defined Lebesgue measure (or coin flipping measure). That is, for such an , the probability that the sequence of flips of a fair coin will wind up in is not well defined. This is a pathological property of that says that is "very complicated" or "ill behaved". From such a set , form a new set by performing the following operation on each sequence in : Intersperse a 0 at every even position in the sequence, moving the other bits to make room. Although is not intuitively any "simpler" or "better behaved" than , the probability that the sequence of flips of a fair coin will be in is well defined. Indeed, to be in , the coin must come up tails on every even numbered flip, which happens with probability zero. However is not universally measurable. To see that, we can test it against a biased coin that always comes up tails on even numbered flips, and is fair on odd numbered flips. For a set of sequences to be universally measurable, an arbitrarily biased coin may be used (even one that can "remember" the sequence of flips that has gone before) and the probability that the sequence of its flips ends up in the set must be well defined. However, when is tested by the coin we mentioned (the one that always comes up tails on even numbered flips, and is fair on odd numbered flips), the probability to hit is not well defined (for the same reason why cannot be tested by the fair coin). Thus, is not universally measurable.