Введение
В математике подмножество польского пространства называется универсально измеримым, если оно измеримо относительно каждой полной меры вероятности на этом пространстве, которая измеряет все борелевские подмножества. В частности, универсально измеримое множество вещественных чисел обязательно измеримо по Лебегу (см. ниже). Каждое аналитическое множество является универсально измеримым. Из проективной детерминированности, которая, в свою очередь, следует из существования достаточно больших кардиналов, следует, что каждое проективное множество является универсально измеримым.
Условие конечности
Условие, что мера является мерой вероятности, то есть, что мера самого себя равна 1, менее ограничивающее, чем может показаться. Например, мера Лебега на действительных числах не является мерой вероятности, однако каждое универсально измеримое множество измеримо по Лебегу. Чтобы увидеть это, разделите действительную прямую на счетное число интервалов длиной 1; например, N₀=[0,1), N₁=[1,2), N₂=[2,3), N₃=[3,4), N₄=[4,5), и так далее. Теперь, пусть μ – мера Лебега, определим новую меру ν следующим образом:
Тогда легко показать, что ν является мерой вероятности на действительных числах, и множество является ν-измеримым тогда и только тогда, когда оно измеримо по Лебегу. В более общем случае, универсально измеримое множество должно быть измеримым относительно любой сигма-конечной меры, которая измеряет все множества Бореля.
Пример, контрастирующий с измеримостью Лебега
Предположим, что является подмножеством пространства Кантора; то есть, это множество бесконечных последовательностей нулей и единиц. Поставив двоичную точку перед такой последовательностью, её можно рассматривать как действительное число между 0 и 1 (включительно), с некоторой несущественной неоднозначностью. Таким образом, мы можем рассматривать как подмножество интервала [0,1] и оценить его меру Лебега, если она определена. Это значение иногда называют мерой подбрасывания монеты для , поскольку она представляет собой вероятность получения последовательности орлов и решек, являющейся элементом , при бесконечном подбрасывании честной монеты. Теперь из аксиомы выбора следует, что существуют такие , для которых мера Лебега (или мера подбрасывания монеты) не определена. То есть, для такого , вероятность того, что последовательность подбрасываний честной монеты попадёт в , не определена. Это патологическое свойство , указывающее на то, что оно "очень сложное" или "плохо себя ведёт". Из такого множества сформируем новое множество , выполнив следующую операцию над каждой последовательностью в : вставим 0 в каждую чётную позицию последовательности, сдвигая остальные биты, чтобы освободить место. Хотя интуитивно не является "проще" или "лучше", чем , вероятность того, что последовательность подбрасываний честной монеты попадёт в , определена. Действительно, чтобы попасть в , монета должна выпадать решкой на каждом чётном броске, что происходит с вероятностью ноль. Однако не является универсально измеримым. Чтобы убедиться в этом, мы можем проверить его на смещённой монете, которая всегда выпадает решкой на чётных бросках и является честной на нечётных бросках. Для того чтобы множество последовательностей было универсально измеримым, можно использовать произвольно смещённую монету (даже ту, которая может "запоминать" предыдущую последовательность бросков), и вероятность того, что последовательность её бросков попадёт в множество, должна быть определена. Однако, при проверке множества монетой, которую мы упомянули (всегда выпадающей решкой на чётных бросках и честной на нечётных бросках), вероятность попадания в не определена (по той же причине, по которой не может быть проверено честной монетой). Таким образом, не является универсально измеримым.