Кіріспе
Алгебралық құрылымның кіші жиынтықтарының қасиеттері. Бұрылыспен жабу – алгебралық құрылымның кіші жиынтықтарының қасиеті. Алгебралық құрылымның кіші жиынтығы бұрылыспен жабылу қасиетін көрсетеді, егер кез келген екі элементі үшін сол құрылымның автоморфизмі және элемент бар болса, онда
Closure with a twist is a property of subsets of an algebraic structure. A subset of an algebraic structure is said to exhibit closure with a twist if for every two elements
there exists an automorphism of and an element such that
where "" is notation for an operation on preserved by
Two examples of algebraic structures which exhibit closure with a twist are the cwatset and the generalized cwatset, or GC set.
теңдігі орындалады, мұнда "" – алгебралық құрылымда сақталатын операцияның белгісі. Бұрылыспен жабылу қасиетін көрсететін алгебралық құрылымдардың екі мысалы – cwatset және жалпыланған cwatset, немесе GC жиыны.
Closure with a twist is a property of subsets of an algebraic structure. A subset of an algebraic structure is said to exhibit closure with a twist if for every two elements
there exists an automorphism of and an element such that
where "" is notation for an operation on preserved by
Two examples of algebraic structures which exhibit closure with a twist are the cwatset and the generalized cwatset, or GC set.
Жалпыланған квота
Математикада, жалпыланған цватсет (GC жиыны) – цватсеттің ерекше қасиеті болып табылатын бұрылыспен жабылу түсінігін кеңейтетін алгебралық құрылым.
Анықтамалар
G тобының H ішкі жиыны GC жиыны болып есептеледі, егер әрбір үшін , осындай бар болса. Сонымен қатар, H ⊆ G GC жиыны циклдік GC жиыны болып есептеледі, егер және бар болса, онда болады, мұндағы және барлық үшін .
Furthermore, a GC set H ⊆ G is a cyclic GC set if there exists an and a such that where and for all .
Мысалдар
Кез келген cwatset GC жиыны болып табылады, себебі кез келген топ GC жиыны болып табылады, сәйкестік автоморфизмі арқылы анықтаманы қанағаттандырады. GC жиынының тривиалды емес мысалы — бұл , ал -ның ішкі жиындары үшін анықтама тривиалды емес екенін көрсететін мысал емес.
Қасиеттері
GC жиыны H ⊆ G әрқашан G-нің бірлік элементін қамтиды.
GC жиындарының тікелей көбейтіндісі қайтадан GC жиыны болады. H ⊆ G жиыны GC жиыны болып табылады, егер және ғана егер ол Aut(G)⋉G жартылай тікелей көбейтіндісіндегі бір кіші топтың проекциясы болса.
Жоғарыдағы қасиеттің салдары ретінде, GC жиындары Лагранж теоремасының аналогына ие: GC жиынының реті Aut(G)⋉G ретін бөледі. Егер GC жиыны H, өзі проекция болып табылатын Aut(G)⋉G кіші тобының ретімен тең болса, онда H ретін бөлетін әрбір жай санның дәрежесі үшін H, p,, ретіндегі GC кіші жиындарын қамтиды. (Бірінші Сайлоу теоремасының аналогы)
GC жиыны циклдік, егер және ғана егер ол Aut(G)⋉G циклдік кіші тобының проекциясы болса.
The direct product of GC sets is again a GC set. A subset H ⊆ G is a GC set if and only if it is the projection of a subgroup of Aut(G)⋉G, the semi direct product of Aut(G) and G.
As a consequence of the previous property, GC sets have an analogue of Lagrange's Theorem: The order of a GC set divides the order of Aut(G)⋉G. If a GC set H has the same order as the subgroup of Aut(G)⋉G of which it is the projection then for each prime power which divides the order of H, H contains sub GC sets of orders p,, ,. (Analogue of the first Sylow Theorem)
A GC set is cyclic if and only if it is the projection of a cyclic subgroup of Aut(G)⋉G.