Введение
Свойство подмножеств алгебраической структуры. Закрытие с виткой — это свойство подмножеств алгебраической структуры. Подмножество алгебраической структуры называется обладающим закрытием с виткой, если для любых двух элементов x и y существует автоморфизм f алгебраической структуры и элемент z такой, что f(x) * f(y) = z, где "*" обозначает операцию на алгебраической структуре, сохраняемую автоморфизмом f. Два примера алгебраических структур, обладающих закрытием с виткой, — это cwatset и обобщенный cwatset, или GC-множество.
Closure with a twist is a property of subsets of an algebraic structure. A subset of an algebraic structure is said to exhibit closure with a twist if for every two elements
there exists an automorphism of and an element such that
where "" is notation for an operation on preserved by
Two examples of algebraic structures which exhibit closure with a twist are the cwatset and the generalized cwatset, or GC set.
Общий коэффициент
В математике обобщенный cwatset (GC set) — это алгебраическая структура, обобщающая понятие замыкания с добавлением "скрутки", которая является определяющей характеристикой cwatset.
Определения
Подмножество H группы G является GC-множеством, если для каждого g из G существует h из H такое, что g = hx.
Кроме того, GC-множество H ⊆ G является циклическим GC-множеством, если существует элемент a и элемент b такие, что H = {a^i * b | i ∈ Z} и ab = ba для всех i.
Furthermore, a GC set H ⊆ G is a cyclic GC set if there exists an and a such that where and for all .
Примеры
Любой cwatset является GC-множеством, поскольку из следует, что любая группа является GC-множеством, удовлетворяя определению с тождественным автоморфизмом. Нетривиальный пример GC-множества — , где A не является примером, показывающим, что определение нетривиально для подмножеств .
Свойства
Набор ГК H ⊆ G всегда содержит единичный элемент G. Прямое произведение наборов ГК снова является набором ГК. Подмножество H ⊆ G является набором ГК тогда и только тогда, когда оно является проекцией подгруппы Aut(G) ⋉ G, полупрямого произведения Aut(G) и G. Как следствие предыдущего свойства, наборы ГК обладают аналогом теоремы Лагранжа: порядок набора ГК делит порядок Aut(G) ⋉ G. Если набор ГК H имеет тот же порядок, что и подгруппа Aut(G) ⋉ G, проекцией которой он является, то для каждой простой степени, делящей порядок H, H содержит поднаборы ГК порядков pᵢ, pᵢ₁, и так далее. (Аналог первой теоремы Силоу) Набор ГК является циклическим тогда и только тогда, когда он является проекцией циклической подгруппы Aut(G) ⋉ G.
The direct product of GC sets is again a GC set. A subset H ⊆ G is a GC set if and only if it is the projection of a subgroup of Aut(G)⋉G, the semi direct product of Aut(G) and G.
As a consequence of the previous property, GC sets have an analogue of Lagrange's Theorem: The order of a GC set divides the order of Aut(G)⋉G. If a GC set H has the same order as the subgroup of Aut(G)⋉G of which it is the projection then for each prime power which divides the order of H, H contains sub GC sets of orders p,, ,. (Analogue of the first Sylow Theorem)
A GC set is cyclic if and only if it is the projection of a cyclic subgroup of Aut(G)⋉G.