Төрт өлшемді кеңістіктегі бұрылулар тобы

Кіріспе

Арнайы ортогональды топ

Математикада, төрт өлшемді Евклид кеңістігіндегі белгілі бір нүктеге айналу тобы SO(4) деп белгіленеді. Бұл атау оның 4-ретті арнайы ортогональды топ екендігінен туындайды. Осы мақалада айналу термині айналу қозғалысын білдіреді. Нақтылық үшін, айналу бұрыштары, контексттен басқаша түсінілмесе немесе айтылмаса, белгілі бір аралықта деп есептеледі. "Тұрақты жазықтық" – айналудан кейін жазықтықтағы әрбір вектор өзгермейтін жазықтық. "Инвариантты жазықтық" – айналуға ұшыраса да, жазықтықтағы әрбір вектор айналудан кейін жазықтықта қалатын жазықтық.

4D айналымдардың геометриясы

Төрт өлшемді айналымдар екі түрлі болады: қарапайым айналымдар және қос айналымдар.

Қарапайым айналымдар

Оралу орталығы О төңірегіндегі R қарапайым айналуы, O арқылы өтетін A жазықтығын (осі жазықтығы) өзгеріссіз қалдырады. A-ға толық ортогональ B кез келген жазықтығы A-ны белгілі бір нүктеде P қиып өтеді. Әрбір мұндай нүкте P, B жазықтығында R айналуының нәтижесінде туындаған 2D айналудың орталығы болып табылады. Бұл екі өлшемді айналулардың бәрі бірдей α бұрыштық айналу бұрышына ие. O-дан өтетін, ось жазықтығы A-дағы түзулер өзгеріссіз қалады; O-дан A-ға ортогональ түзулер α бұрышына ауысады; ал қалған барлық түзулер α-дан кіші бұрышқа ауысады.

Екі рет айналу

4 кеңістіктің әрбір айналуы R үшін (түпін бекітетін), кем дегенде бір жұп ортогональ 2 жазықтық А және В бар, олардың әрқайсысы өзгермейтін және олардың тікелей қосындысы А ⊕ В – 4 кеңістіктің өзі құрайды. Сондықтан R осы жазықтықтардың бірінде әрекет еткенде, сол жазықтықтың қарапайым айналуын тудырады. R-дің көпшілігі үшін (3 өлшемді кіші жиынтығынан басқа 6 өлшемді айналу жиынтығының барлығы), А жазықтықтағы α және В жазықтықтағы β айналу бұрыштары – екеуі де нөлден өзгеше деп есептелінеді – әртүрлі болады. −π < α, β < π шартын қанағаттандыратын әртүрлі айналу бұрыштары α және β R арқылы дерлік бірегей түрде анықталады. 4 кеңістік бағдарланған деп есептесек, А және В жазықтықтарының бағдарлары осы бағдарға сәйкес екі түрлі жолмен таңдалуы мүмкін. Егер айналу бұрыштары тең болмаса (α ≠ β), R кейде "қос айналыс" деп аталады. Қос айналыс жағдайында А және В – инвариантты жазықтықтардың жалғыз жұбы, ал A және B жазықтықтарындағы түбірден шығатын жарты сызықтар тиісінше α және β бұрыштарына ауысады, ал A немесе B жазықтықтарындағы емес түбірден шығатын жарты сызықтар α және β арасындағы бұрыштарға ауысады.

Изоклиникалық айналымдар

Егер қос айналу бұрыштары тең болса, онда екі ғана емес, шексіз көп инвариант жазықтықтар болады, ал O нүктесінен басталатын барлық жарты сызықтар бірдей бұрышқа ауысады. Мұндай айналулар изоклиникалық немесе эквиангулярлық айналулар, немесе Клиффорд түрленулері деп аталады. Назар салып көріңіз: O нүктесі арқылы өтетін барлық жазықтықтар изоклиникалық айналу кезінде инвариант емес; тек жарты сызық пен оған сәйкес ауысқан жарты сызық арқылы өтетін жазықтықтар ғана инвариант. 4 өлшемді кеңістік үшін белгілі бір бағдар таңдалған болса, изоклиникалық 4D айналуларды екі санатқа бөлуге болады. Мұны түсіну үшін R изоклиникалық айналуын қарастырайық және O нүктесінде өзара перпендикуляр жарты сызықтардың OU, OX, OY, OZ реттік жиынтығын (OUXYZ деп белгіленеді) алыңыз, мұнда OU және OX инвариант жазықтықты құрайды, сондықтан OY және OZ да инвариант жазықтықты құрайды. Енді тек айналу бұрышы α ғана белгілі деп есептейік. Онда, әдетте, OUX және OYZ жазықтықтарында α айналу бұрышымен төрт изоклиникалық айналу болады, бұл OUX және OYZ жазықтықтарындағы айналу бағытына байланысты. Біз OU-дан OX-қа және OY-дан OZ-ға айналу бағытын оң деп есептейміз. Содан кейін бізде төрт айналу бар: , , және R1 және R2 бір-біріне кері; R3 және R4 да кері. α 0 пен аралығында болғанда, бұл төрт айналу өзгеше болады. Бірдей таңбалы изоклиникалық айналулар сол жақты изоклиникалық деп аталады; ал қарама-қарсы таңбалылары оң жақты изоклиникалық деп аталады. Сол және оң жақты изоклиникалық айналулар бірлік кватерниондарды сол және оң жақтан көбейту арқылы бейнеленеді; «Кватерниондармен байланысы» деген тақырыпты қараңыз. Төрт айналу жұптары бойынша өзгеше, егер немесе болмаса. Бұрыш сәйкестік айналуына сәйкес келеді; бұрыш сәйкестік матрицасының теріс мәнімен берілген орталық инверсияға сәйкес келеді. SO(4) тобының осы екі мүшесі бір мезгілде сол және оң жақты изоклиникалық болатын жалғыз мүшелер. Жоғарыда айтылғандай, сол және оң изоклиникалық сипаттамасы таңдалған нақты изоклиникалық айналуға байланысты. Алайда, егер OU′, OX′, OY′, OZ′ өсімен басқа R′ изоклиникалық айналу таңдалса, онда U′, X′, Y′, Z′ реттілігін әрқашан OUXYZ-ды айналу арқылы емес, айналудың шағылысуымен OU′X′Y′Z′-ға түрлендіруге болатындай етіп таңдауға болады (яғни, OU′, OX′, OY′, OZ′ реттік негізі OU, OX, OY, OZ сияқты бағдардың тұрақты таңдауына сәйкес келеді). Сондықтан, бағдарды таңдағаннан кейін (яғни, әдетте оң жақты деп белгіленетін OUXYZ осьтер жүйесі), нақты изоклиникалық айналудың сол немесе оң жақты екенін анықтауға болады.

If the rotation angles of a double rotation are equal then there are infinitely many invariant planes instead of just two, and all half lines from O are displaced through the same angle. Such rotations are called isoclinic or equiangular rotations, or Clifford displacements. Beware: not all planes through O are invariant under isoclinic rotations; only planes that are spanned by a half line and the corresponding displaced half line are invariant. Assuming that a fixed orientation has been chosen for 4 dimensional space, isoclinic 4D rotations may be put into two categories. To see this, consider an isoclinic rotation R, and take an orientation consistent ordered set OU, OX, OY, OZ of mutually perpendicular half lines at O (denoted as OUXYZ) such that OU and OX span an invariant plane, and therefore OY and OZ also span an invariant plane. Now assume that only the rotation angle α is specified. Then there are in general four isoclinic rotations in planes OUX and OYZ with rotation angle α, depending on the rotation senses in OUX and OYZ. We make the convention that the rotation senses from OU to OX and from OY to OZ are reckoned positive. Then we have the four rotations , , and R1 and R2 are each other's inverses; so are R3 and R4. As long as α lies between 0 and , these four rotations will be distinct. Isoclinic rotations with like signs are denoted as left isoclinic; those with opposite signs as right isoclinic. Left and right isoclinic rotations are represented respectively by left and right multiplication by unit quaternions; see the paragraph "Relation to quaternions" below. The four rotations are pairwise different except if or The angle corresponds to the identity rotation; corresponds to the central inversion, given by the negative of the identity matrix. These two elements of SO(4) are the only ones that are simultaneously left and right isoclinic. Left and right isocliny defined as above seem to depend on which specific isoclinic rotation was selected. However, when another isoclinic rotation R′ with its own axes OU′, OX′, OY′, OZ′ is selected, then one can always choose the order of U′, X′, Y′, Z′ such that OUXYZ can be transformed into OU′X′Y′Z′ by a rotation rather than by a rotation reflection (that is, so that the ordered basis OU′, OX′, OY′, OZ′ is also consistent with the same fixed choice of orientation as OU, OX, OY, OZ). Therefore, once one has selected an orientation (that is, a system OUXYZ of axes that is universally denoted as right handed), one can determine the left or right character of a specific isoclinic rotation.

SO ((4) тобының құрылымы

SO(4) – 6 өлшемді, коммутативті емес, компактты Лай тобы. Оралу центрі арқылы өтетін әрбір жазықтық SO(2)-ге изоморфты коммутативті кіші топтың ось жазықтығы болып табылады. Бұл кіші топтардың барлығы SO(4)-те бір-бірімен конъюгацияланады. Оралу центрі арқылы өтетін толық ортогоналды жазықтықтардың әрбір жұбы SO(4) коммутативті кіші тобының SO(2) × SO(2)-ге изоморфты инвариантты жазықтықтар жұбын құрайды. Бұл топтар SO(4)-тің максималды торилері болып табылады және олардың барлығы SO(4)-те бір-бірімен конъюгацияланады. Сондай-ақ, Клиффорд торусын қараңыз. Барлық сол жақ изоклиникалық айналымдар SO(4)-те S^(3)L коммутативті емес кіші топты құрайды, ол S^(3) бірлік кватерниондардың мультипликативті тобына изоморфты. Барлық оң жақ изоклиникалық айналымдар да S^(3)R SO(4)-те S^(3)-ге изоморфты кіші топты құрайды. S^(3)L және S^(3)R екеуі де SO(4)-тің максималды кіші топтары болып табылады. Әрбір сол жақ изоклиникалық айналым әрбір оң жақ изоклиникалық айналыммен коммутациялайды. Бұл S^(3)L және S^(3)R нормальды кіші топтары бар тікелей көбейтіндінің бар екенін білдіреді; сәйкес фактор топтарының екеуі де тікелей көбейтіндінің екінші факторына, яғни S^(3)-ке изоморфты. (Бұл SO(4) немесе оның кіші тобы емес, өйткені S^(3)L және S^(3)R бір-бірінен бөлек емес: сәйкестік I және орталық инверсия −I екеуі де S^(3)L және S^(3)R-ге жатады.) Кез келген 4D айналым A екі жағынан сол және оң изоклиникалық айналымдар AL және AR көбейтіндісі болып табылады. AL және AR орталық инверсияға дейін бірге анықталады, яғни AL және AR екеуі де орталық инверсияға көбейтілгенде олардың көбейтіндісі қайтадан A болады. Бұл S^(3)L × S^(3)R SO(4)-тің жалпы жапқыш тобы — оның бірегей қос жабыны — екенін және S^(3)L және S^(3)R SO(4)-тің нормальды кіші топтары екенін білдіреді. Сәйкестік айналым I және орталық инверсия −I 2 реттік C2 тобын құрайды, ол SO(4) және S^(3)L және S^(3)R-дің центрі болып табылады. Топтың центрі — бұл топтың нормальды кіші тобы. C2-нің SO(4)-тегі фактор тобы SO(3) × SO(3)-ке изоморфты. S^(3)L-дің C2 бойынша және S^(3)R-дің C2 бойынша факторлық топтарының әрқайсысы SO(3)-ке изоморфты. Сол сияқты, SO(4)-тің S^(3)L бойынша және SO(4)-тің S^(3)R бойынша факторлық топтарының әрқайсысы SO(3)-ке изоморфты. SO(4)-тің топологиясы Лай тобының топологиясымен бірдей: 1=SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2), атап айтқанда, бұл кеңістік 3 өлшемді нақты проекциялық кеңістік және 3 сфера болып табылады. Алайда, SO(4) Ли тобы ретінде Ли топтарының тікелей көбейтіндісі емес екенін және сондықтан 1=SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2)-ге изоморфты емес екенін атап өту керек.

SO(4) is a noncommutative compact 6 dimensional Lie group. Each plane through the rotation centre O is the axis plane of a commutative subgroup isomorphic to SO(2). All these subgroups are mutually conjugate in SO(4). Each pair of completely orthogonal planes through O is the pair of invariant planes of a commutative subgroup of SO(4) isomorphic to SO(2) × SO(2). These groups are maximal tori of SO(4), which are all mutually conjugate in SO(4). See also Clifford torus. All left isoclinic rotations form a noncommutative subgroup S^(3)L of SO(4), which is isomorphic to the multiplicative group S^(3) of unit quaternions. All right isoclinic rotations likewise form a subgroup S^(3)R of SO(4) isomorphic to S^(3). Both S^(3)L and S^(3)R are maximal subgroups of SO(4). Each left isoclinic rotation commutes with each right isoclinic rotation. This implies that there exists a direct product with normal subgroups S^(3)L and S^(3)R; both of the corresponding factor groups are isomorphic to the other factor of the direct product, i. e. isomorphic to S^(3). (This is not SO(4) or a subgroup of it, because S^(3)L and S^(3)R are not disjoint: the identity I and the central inversion −I each belong to both S^(3)L and S^(3)R.)

Each 4D rotation A is in two ways the product of left and right isoclinic rotations AL and AR. AL and AR are together determined up to the central inversion, i. e. when both AL and AR are multiplied by the central inversion their product is A again. This implies that S^(3)L × S^(3)R is the universal covering group of SO(4) — its unique double cover — and that S^(3)L and S^(3)R are normal subgroups of SO(4). The identity rotation I and the central inversion −I form a group C2 of order 2, which is the centre of SO(4) and of both S^(3)L and S^(3)R. The centre of a group is a normal subgroup of that group. The factor group of C2 in SO(4) is isomorphic to SO(3) × SO(3). The factor groups of S3L by C2 and of S3R by C2 are each isomorphic to SO(3). Similarly, the factor groups of SO(4) by S3L and of SO(4) by S3R are each isomorphic to SO(3). The topology of SO(4) is the same as that of the Lie group 1=SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2), namely the space where is the real projective space of dimension 3 and is the 3 sphere. However, it is noteworthy that, as a Lie group, SO(4) is not a direct product of Lie groups, and so it is not isomorphic to 1=SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2).

Жалпы айналым топтары арасында SO ((4) ерекше қасиеті

Жұп емес өлшемді айналу топтары орталық инверсияны қамтымайды және қарапайым топтар болып табылады. Жұп өлшемді айналу топтары орталық инверсияны −I қамтиды және топ олардың орталығы болып табылады. Жұп n ≥ 6 үшін SO(n) дерлік қарапайым, себебі SO(n) тобының ортасымен бөлінген фактор тобы SO(n)/C2 қарапайым топ болып табылады. SO(4) ерекше: сол және оң изоклиникалық айналымдарды бір-біріне айналдыратын SO(4) элементімен конъюгация жоқ. Көшулер конъюгация арқылы сол жақ изоклиникалық айналымды оң жақ изоклиникалық айналымға айналдырады және керісінше. Бұл O(4) тобының, белгілі бір нүктесі O болатын барлық изометриялар тобының, әртүрлі кіші топтары S^(3)L және S^(3)R бір-бірімен конъюгацияланғандығын білдіреді, сондықтан олар O(4) тобының нормальды кіші топтары бола алмайды. 5D айналым тобы SO(5) және барлық жоғары айналым топтары O(4)-ке изоморфты кіші топтарды қамтиды. SO(4) сияқты, барлық жұп өлшемді айналым топтарында изоклиникалық айналымдар бар. Бірақ SO(4)-тен айырмашылығы, SO(6) және барлық жоғары жұп өлшемді айналым топтарында бірдей бұрышпен жасалған кез келген екі изоклиникалық айналым конъюгат болып табылады. Барлық изоклиникалық айналымдар жиынтығы тіпті SO(2N) кіші тобы емес, тіпті нормальды кіші топ та емес.

4D айналымдар алгебрасы

SO(4) нақты сандар үстіндегі ішкі көбейтіндісі бар 4D векторлық кеңістіктің өзін-өзіне сақтайтын изометриялық сызықтық түрлендірулерінің бағдар сақтайтын тобы ретінде жиі анықталады. Мұндай кеңістікте ортонормалды негізге қатысты SO(4) детерминанты +1-ге тең 4-ші реттік ортогональды матрицалар тобы ретінде көрсетіледі.

4D айналу матрицаларының өзіндік мәндері

4D айналу матрицасының төрт өзіндік мәні көбінесе бірлік модулі бар кешенді сандардың екі жұп конъюгат түрінде болады. Егер өзіндік мән нақты болса, ол ±1 болуы тиіс, себебі айналу вектордың ұзындығын өзгерте алмайды. Осы өзіндік мәннің конъюгаты да бірлікке тең болады, бұл тұрақты жазықтықты анықтайтын екі өзіндік вектор жұбын береді, сондықтан айналу қарапайым болады. Квартернион жазбасында, SO(4) ішіндегі дұрыс (яғни, кері емес) айналу, егер және тек қана QL және QR бірлік квартерниондарының нақты бөліктері шамасы бойынша тең болса және бірдей таңбаға ие болса, дұрыс қарапайым айналу болып табылады. Егер олардың екеуі де нөл болса, айналудың барлық өзіндік мәндері бірлікке тең болады, ал айналу нөлдік айналу болады. Егер QL мен QR-дың нақты бөліктері тең болмаса, онда барлық өзіндік мәндер кешенді болады, ал айналу қос айналу болып табылады.

Хопф координаттары

3D кеңістіктегі айналулар сфералық координаттарды қолдану арқылы математикалық тұрғыдан әлдеқайда оңайырақ болады. 3D кеңістіктегі кез келген айналуды айналу осі және сол оске перпендикуляр инвариант жазықтық сипаттайды. Жалпылықты жоғалтпай, xy жазықтығын инвариант жазықтық ретінде және z осін айналу осі ретінде қабылдаймыз. Радиалдық қашықтықтар айналуға тәуелді болмағандықтан, айналуды бірлік сфераға (2 сфера) әсері арқылы, айналу осіне және инвариант жазықтыққа сәйкес сфералық координаттармен сипаттауға болады: себебі , нүктелер 2 сферада орналасқан. Z осіне φ бұрышымен айналған {θ0, φ0} нүктесі {θ0, φ0 + φ} арқылы анықталады. Гиперсфералық координаттар 4D айналуларды қарастыруда да пайдалы, бірақ 4D үшін одан да тиімді координаттар жүйесін Хопф координаттары {ξ1, η, ξ2} ұсынады, олар 3 сферадағы орнын анықтайтын үш бұрыштық координаттар жиынтығы. Мысалы: себебі , нүктелер 3 сферада орналасқан. 4D кеңістікте, бастапқы нүктеге қатысты кез келген айналудың бір-біріне толық ортогоналды және бастапқы нүктеде қиылысатын екі инвариант жазықтығы болады, және олар ξ1 және ξ2 екі тәуелсіз бұрышпен айналады. Жалпылықты жоғалтпай, осы инвариант жазықтықтар ретінде тиісінше uz және xy жазықтықтарын таңдауға болады. 4D кеңістікте {ξ10, η0, ξ20} нүктесін ξ1 және ξ2 бұрыштары арқылы айналдыру Хопф координаттарымен {ξ10 + ξ1, η0, ξ20 + ξ2} түрінде көрсетіледі.

4D айналымдарды визуализациялау

Кез келген 3D кеңістіктегі айналудың айналу арқылы өзгермейтін белгілі бір осі болады. Айналу осін және сол ось бойынша айналу бұрышын анықтау арқылы айналу толыққанды сипатталады. Ешқандай жалпылықты жоғалтпай, бұл осьті картезиан координаттар жүйесінің z осі ретінде таңдауға болады, бұл айналуды қарапайым түсінуге мүмкіндік береді. 3D кеңістікте сфералық координаттар {θ, φ} 2 сфераның параметрлік түрі ретінде қарастырылуы мүмкін. θ тұрақты болғанда, олар 2 сферасындағы z осіне перпендикуляр шеңберлерді сипаттайды, ал бұл шеңберлерді сферадағы нүктенің траекториясы ретінде қарастыруға болады. z осі бойынша айналу кезінде сферадағы {θ0, φ0} нүктесі φ бұрышы өзгерер кезде {θ0, φ0 + φ} траекториясын өтеді. Траекторияны уақытқа байланысты айналу параметрі ретінде қарастыруға болады, мұнда айналу бұрышы уақыт бойынша сызықтық өзгереді: , мұнда ω – «бұрыштық жылдамдық». 3D жағдайына ұқсас, 4D кеңістіктегі әрбір айналудың кем дегенде екі инвариантты осьтік жазықтығы болады, олар айналу кезінде өзгермейді және толыққанды ортогоналды (яғни, олар бір нүктеде қиылысады). Айналу толыққанды осьтік жазықтықтарды және олар бойынша айналу бұрыштарын анықтау арқылы сипатталады. Ешқандай жалпылықты жоғалтпай, бұл осьтік жазықтықтарды картезиан координаттар жүйесінің uz және xy жазықтықтары ретінде таңдауға болады, бұл айналуды қарапайым түсінуге мүмкіндік береді. 4D кеңістікте Хопф бұрыштары {ξ1, η, ξ2} 3 сфераны параметрлейді. η тұрақты болғанда, олар ξ1 және ξ2 параметрленген торус сипаттайды, бұл xy және uz жазықтықтарындағы Клиффорд торусының ерекше жағдайы болып табылады. Бұл торулар 3D кеңістікте кездесетін әдеттегі торулар емес. Олар әлі де 2D беттер болғанымен, олар 3 сфераға енгізілген. 3 сфераны бүкіл евкалидтік 3D кеңістікке стереографиялық түрде проекциялауға болады, содан кейін бұл торулар әдеттегі айналма торулар ретінде көрінеді. {ξ10, η0, ξ20} координаталарымен берілген нүкте, uz және xy жазықтықтары инвариантты болатын айналу кезінде η0 параметрімен берілген торус үстінде қалады. Нүктенің траекториясын уақыттың функциясы ретінде {ξ10 + ω1t, η0, ξ20 + ω2t} түрінде жазуға болады және оны төмендегі суреттердегідей, оның сәйкес торусына стереографиялық түрде проекциялауға болады. Суреттерде бастапқы нүкте , яғни Клиффорд торусының үстінде орналасқан. 1-суретте қара түспен екі қарапайым айналу траекториясы көрсетілген, ал қызыл және көк түстермен сол және оң изоклиникалық траекториялар көрсетілген. 2-суретте және көрсетілген жалпы айналу көрсетілген, ал 3-суретте және көрсетілген жалпы айналу көрсетілген. Төменде төртінші өлшем сығылып, түс түрінде көрсетілген айналатын 5 жасуша бейнеленген. Жоғарыда сипатталған Клиффорд торусы тікбұрышты (орау) түрінде көрсетілген.

Every rotation in 3D space has a fixed axis unchanged by rotation. The rotation is completely specified by specifying the axis of rotation and the angle of rotation about that axis. Without loss of generality, this axis may be chosen as the z axis of a Cartesian coordinate system, allowing a simpler visualization of the rotation. In 3D space, the spherical coordinates {θ, φ} may be seen as a parametric expression of the 2 sphere. For fixed θ they describe circles on the 2 sphere which are perpendicular to the z axis and these circles may be viewed as trajectories of a point on the sphere. A point {θ0, φ0} on the sphere, under a rotation about the z axis, will follow a trajectory {θ0, φ0 + φ} as the angle φ varies. The trajectory may be viewed as a rotation parametric in time, where the angle of rotation is linear in time: , with ω being an "angular velocity". Analogous to the 3D case, every rotation in 4D space has at least two invariant axis planes which are left invariant by the rotation and are completely orthogonal (i. e. they intersect at a point). The rotation is completely specified by specifying the axis planes and the angles of rotation about them. Without loss of generality, these axis planes may be chosen to be the uz and xy planes of a Cartesian coordinate system, allowing a simpler visualization of the rotation. In 4D space, the Hopf angles {ξ1, η, ξ2} parameterize the 3 sphere. For fixed η they describe a torus parameterized by ξ1 and ξ2, with being the special case of the Clifford torus in the xy and uz planes. These tori are not the usual tori found in 3D space. While they are still 2D surfaces, they are embedded in the 3 sphere. The 3 sphere can be stereographically projected onto the whole Euclidean 3D space, and these tori are then seen as the usual tori of revolution. It can be seen that a point specified by {ξ10, η0, ξ20} undergoing a rotation with the uz and xy planes invariant will remain on the torus specified by η0. The trajectory of a point can be written as a function of time as {ξ10 + ω1t, η0, ξ20 + ω2t} and stereographically projected onto its associated torus, as in the figures below. In these figures, the initial point is taken to be , i. e. on the Clifford torus. In Fig. 1, two simple rotation trajectories are shown in black, while a left and a right isoclinic trajectory is shown in red and blue respectively. In Fig. 2, a general rotation in which and is shown, while in Fig. 3, a general rotation in which and is shown. Below, a spinning 5 cell is visualized with the fourth dimension squashed and displayed as colour. The Clifford torus described above is depicted in its rectangular (wrapping) form.