Специальная ортогональная группа SO(4) и вращения в четырехмерном пространстве.

Введение

Специальная ортогональная группа

В математике группа вращений вокруг фиксированной точки в четырехмерном евклидовом пространстве обозначается SO(4). Название происходит от того, что это специальная ортогональная группа порядка 4. В данной статье под вращением понимается вращательное смещение. Для однозначности, углы вращения считаются принадлежащими отрезку [0, 2π), если не указано иное или это не подразумевается контекстом. "Фиксированная плоскость" – это плоскость, в которой каждый вектор остается неизменным после вращения. "Инвариантная плоскость" – это плоскость, в которой каждый вектор, хотя и может измениться под действием вращения, остается в этой плоскости после вращения.

Геометрия 4D-обращений

Четырехмерные вращения бывают двух типов: простые вращения и двойные вращения.

Простые вращения

Простое вращение R вокруг центра вращения O фиксирует всю плоскость A, проходящую через O (осевую плоскость). Каждая плоскость B, полностью ортогональная A, пересекает A в определенной точке P. Для каждой такой точки P является центром двумерного вращения, индуцированного R в B. Все эти двумерные вращения имеют один и тот же угол вращения α. Полупрямые, исходящие из O в осевой плоскости A, не смещаются; полупрямые, исходящие из O и ортогональные A, смещаются на угол α; все остальные полупрямые смещаются на угол, меньший α.

Двойные ротации

Для каждого вращения R в 4-мерном пространстве (фиксируя начало координат), существует по крайней мере одна пара ортогональных 2-мерных плоскостей A и B, каждая из которых инвариантна, и прямая сумма A ⊕ B составляет всё 4-мерное пространство. Следовательно, вращение R, действующее на любую из этих плоскостей, производит обычное вращение этой плоскости. Для почти всех R (всех вращений из 6-мерного множества, за исключением 3-мерного подмножества), углы вращения α в плоскости A и β в плоскости B – оба предполагаются отличными от нуля – различны. Неравные углы вращения α и β, удовлетворяющие условию −π < α, β < π, почти однозначно определяются вращением R. Если 4-мерное пространство ориентировано, то ориентации 2-мерных плоскостей A и B могут быть выбраны согласованно с этой ориентацией двумя способами. Если углы вращения не равны (α ≠ β), вращение R иногда называют "двойным вращением". В случае двойного вращения, A и B являются единственной парой инвариантных плоскостей, и полупрямые, исходящие из начала координат в плоскостях A и B, смещаются на углы α и β соответственно, а полупрямые, исходящие из начала координат и не лежащие в плоскостях A или B, смещаются на углы, строго лежащие между α и β.

Изоклинические ротации

Если углы вращения двойного вращения равны, то существует бесконечно много инвариантных плоскостей вместо двух, и все полупрямые от O смещаются на один и тот же угол. Такие вращения называются изоклиническими или равноугольными вращениями, или преобразованиями Клиффорда. Внимание: не все плоскости, проходящие через O, инвариантны относительно изоклинических вращений; инвариантны только плоскости, натянутые на полупрямую и соответствующую смещенную полупрямую. Предполагая, что для 4-мерного пространства выбрана фиксированная ориентация, изоклинические 4D вращения можно разделить на две категории. Чтобы увидеть это, рассмотрим изоклиническое вращение R и выберем ориентационно упорядоченный набор OU, OX, OY, OZ взаимно перпендикулярных полупрямых в O (обозначаемый как OUXYZ), такой, что OU и OX задают инвариантную плоскость, и, следовательно, OY и OZ также задают инвариантную плоскость. Теперь предположим, что задан только угол вращения α. Тогда в общем случае существует четыре изоклинических вращения в плоскостях OUX и OYZ с углом вращения α, в зависимости от направления вращения в OUX и OYZ. Договоримся считать положительными направления вращения от OU к OX и от OY к OZ. Тогда у нас есть четыре вращения , , и R1 и R2 являются обратными друг другу; то же самое верно для R3 и R4. Пока α находится между 0 и , эти четыре вращения будут различными. Изоклинические вращения с одинаковыми знаками называются левыми изоклиническими; с противоположными знаками – правыми изоклиническими. Левые и правые изоклинические вращения представляются соответственно левым и правым умножением на единичные кватернионы; см. раздел "Связь с кватернионами" ниже. Четыре вращения попарно различны, за исключением случаев, когда или . Угол соответствует тождественному вращению; соответствует центральной инверсии, заданной отрицанием единичной матрицы. Эти два элемента SO(4) – единственные, которые одновременно являются левыми и правыми изоклиническими. Кажется, что левая и правая изоклиния, определенные выше, зависят от выбранного конкретного изоклинического вращения. Однако, если выбрать другое изоклиническое вращение R′ с собственными осями OU′, OX′, OY′, OZ′, то всегда можно выбрать порядок U′, X′, Y′, Z′ таким образом, чтобы OUXYZ можно было преобразовать в OU′X′Y′Z′ посредством вращения, а не вращения-отражения (то есть, чтобы упорядоченный базис OU′, OX′, OY′, OZ′ также соответствовал тому же выбранному фиксированному выбору ориентации, что и OU, OX, OY, OZ). Поэтому, как только ориентация выбрана (то есть система осей OUXYZ, которая универсально обозначается как правоориентированная), можно определить левый или правый характер конкретного изоклинического вращения.

If the rotation angles of a double rotation are equal then there are infinitely many invariant planes instead of just two, and all half lines from O are displaced through the same angle. Such rotations are called isoclinic or equiangular rotations, or Clifford displacements. Beware: not all planes through O are invariant under isoclinic rotations; only planes that are spanned by a half line and the corresponding displaced half line are invariant. Assuming that a fixed orientation has been chosen for 4 dimensional space, isoclinic 4D rotations may be put into two categories. To see this, consider an isoclinic rotation R, and take an orientation consistent ordered set OU, OX, OY, OZ of mutually perpendicular half lines at O (denoted as OUXYZ) such that OU and OX span an invariant plane, and therefore OY and OZ also span an invariant plane. Now assume that only the rotation angle α is specified. Then there are in general four isoclinic rotations in planes OUX and OYZ with rotation angle α, depending on the rotation senses in OUX and OYZ. We make the convention that the rotation senses from OU to OX and from OY to OZ are reckoned positive. Then we have the four rotations , , and R1 and R2 are each other's inverses; so are R3 and R4. As long as α lies between 0 and , these four rotations will be distinct. Isoclinic rotations with like signs are denoted as left isoclinic; those with opposite signs as right isoclinic. Left and right isoclinic rotations are represented respectively by left and right multiplication by unit quaternions; see the paragraph "Relation to quaternions" below. The four rotations are pairwise different except if or The angle corresponds to the identity rotation; corresponds to the central inversion, given by the negative of the identity matrix. These two elements of SO(4) are the only ones that are simultaneously left and right isoclinic. Left and right isocliny defined as above seem to depend on which specific isoclinic rotation was selected. However, when another isoclinic rotation R′ with its own axes OU′, OX′, OY′, OZ′ is selected, then one can always choose the order of U′, X′, Y′, Z′ such that OUXYZ can be transformed into OU′X′Y′Z′ by a rotation rather than by a rotation reflection (that is, so that the ordered basis OU′, OX′, OY′, OZ′ is also consistent with the same fixed choice of orientation as OU, OX, OY, OZ). Therefore, once one has selected an orientation (that is, a system OUXYZ of axes that is universally denoted as right handed), one can determine the left or right character of a specific isoclinic rotation.

Групповая структура SO ((4)

SO(4) — это некомутативная компактная шестимерная группа Ли. Каждая плоскость, проходящая через центр вращения O, является осью коммутативной подгруппы, изоморфной SO(2). Все эти подгруппы взаимно сопряжены в SO(4). Каждая пара полностью ортогональных плоскостей, проходящих через O, является парой инвариантных плоскостей коммутативной подгруппы SO(4), изоморфной SO(2) × SO(2). Эти группы являются максимальными торами SO(4), которые все взаимно сопряжены в SO(4). См. также тор Клиффорда. Все левые изоклинические вращения образуют некомутативную подгруппу S³L в SO(4), которая изоморфна мультипликативной группе S³ единичных кватернионов. Все правые изоклинические вращения также образуют подгруппу S³R в SO(4), изоморфную S³. И S³L, и S³R являются максимальными подгруппами SO(4). Каждое левое изоклиническое вращение коммутирует с каждым правым изоклиническим вращением. Это означает, что существует прямое произведение с нормальными подгруппами S³L и S³R; обе соответствующие фактор-группы изоморфны другому фактору прямого произведения, то есть изоморфны S³. (Это не SO(4) и не его подгруппа, поскольку S³L и S³R не являются непересекающимися: тождество I и центральная инверсия −I принадлежат как S³L, так и S³R.)

Каждое 4-мерное вращение A представляется двумя способами как произведение левого и правого изоклинических вращений AL и AR. AL и AR вместе определяются с точностью до центральной инверсии, то есть, если AL и AR умножить на центральную инверсию, их произведение снова будет равно A. Это означает, что S³L × S³R является универсальной накрывающей группой SO(4) — её единственным двойным накрытием — и что S³L и S³R являются нормальными подгруппами SO(4). Идентичное вращение I и центральная инверсия −I образуют группу C₂ порядка 2, которая является центром SO(4), а также S³L и S³R. Центр группы является нормальной подгруппой этой группы. Фактор-группа C₂ в SO(4) изоморфна SO(3) × SO(3). Фактор-группы S³L по C₂ и S³R по C₂ каждая изоморфна SO(3). Аналогично, фактор-группы SO(4) по S³L и SO(4) по S³R каждая изоморфна SO(3). Топология SO(4) такая же, как у группы Ли 1 = SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2), а именно пространство, где — это вещественное проективное пространство размерности 3, а — 3-сфера. Однако стоит отметить, что как группа Ли, SO(4) не является прямым произведением групп Ли и, следовательно, не изоморфна 1 = SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2).

Особое свойство SO ((4) среди ротационных групп в целом

Нечётномерные группы вращения не содержат центральной инверсии и являются простыми группами. Чётномерные группы вращения содержат центральную инверсию −I и имеют группу C₂ в качестве центра. Для чётного n ≥ 6, SO(n) является почти простой, поскольку факторгруппа SO(n)/C₂ является простой группой. SO(4) отличается: не существует конъюгации каким-либо элементом SO(4), которая преобразует левое и правое изоклинические вращения друг в друга. Отражения преобразуют левое изоклиническое вращение в правое изоклиническое посредством конъюгации, и наоборот. Это означает, что в группе O(4) всех изометрий с фиксированной точкой O различные подгруппы S³L и S³R конъюгированы друг с другом и, следовательно, не могут быть нормальными подгруппами O(4). Пятимерная группа вращения SO(5) и все группы вращения более высокого порядка содержат подгруппы, изоморфные O(4). Как и SO(4), все чётномерные группы вращения содержат изоклинические вращения. Но в отличие от SO(4), в SO(6) и всех группах вращения более высокого чётного порядка любые два изоклинических вращения на один и тот же угол конъюгированы. Множество всех изоклинических вращений даже не является подгруппой SO(2N), не говоря уже о нормальной подгруппе.

Алгебра 4D-обращений

SO(4) обычно отождествляется с группой ориентацию сохраняющих изометрических линейных преобразований 4-мерного векторного пространства с внутренним произведением над действительными числами на себя. Относительно ортонормального базиса в таком пространстве SO(4) представляется как группа вещественных ортогональных матриц 4-го порядка с определителем +1.

Эгенные значения 4D матриц вращения

Четыре собственных значения 4D-матрицы вращения обычно представляются двумя сопряженными парами комплексных чисел с единичным модулем. Если собственное значение вещественно, оно должно быть равно ±1, поскольку вращение не изменяет длину вектора. Сопряженное к этому собственному значению также равно единице, что дает пару собственных векторов, определяющих фиксированную плоскость, и, следовательно, вращение является простым. В кватернионной нотации, собственное (т.е. неинвертирующее) вращение в SO(4) является собственным простым вращением тогда и только тогда, когда действительные части единичных кватернионов QL и QR равны по абсолютной величине и имеют одинаковый знак. Если обе они равны нулю, все собственные значения вращения равны единице, и вращение является тождественным. Если действительные части QL и QR не равны, то все собственные значения комплексные, и вращение является двойным вращением.

Координаты Хопфа

Ротации в 3D пространстве математически значительно упрощаются при использовании сферических координат. Любое вращение в 3D может быть охарактеризовано фиксированной осью вращения и инвариантной плоскостью, перпендикулярной этой оси. Без потери общности, мы можем принять плоскость xy за инвариантную плоскость, а ось z – за фиксированную ось. Поскольку радиальные расстояния не изменяются при вращении, мы можем охарактеризовать вращение по его воздействию на единичную сферу (2-сферу) с помощью сферических координат, связанных с фиксированной осью и инвариантной плоскостью:

Поскольку , точки лежат на 2-сфере. Точка с координатами {θ0, φ0}, повернутая на угол φ вокруг оси z, задается просто как {θ0, φ0 + φ}. Хотя гиперсферические координаты также полезны при работе с 4D-вращениями, еще более удобную систему координат для 4D предоставляют координаты Хопфа {ξ1, η, ξ2} – набор из трех угловых координат, определяющих положение на 3-сфере. Например:

Поскольку , точки лежат на 3-сфере. В 4D пространстве каждое вращение вокруг начала координат имеет две инвариантные плоскости, которые полностью ортогональны друг другу, пересекаются в начале координат и вращаются двумя независимыми углами ξ1 и ξ2. Без потери общности, мы можем выбрать плоскости uz и xy в качестве этих инвариантных плоскостей. Вращение в 4D точки {ξ10, η0, ξ20} на углы ξ1 и ξ2 тогда просто выражается в координатах Хопфа как {ξ10 + ξ1, η0, ξ20 + ξ2}.

Визуализация 4D-обращений

Каждое вращение в трехмерном пространстве имеет фиксированную ось, не изменяющуюся при вращении. Вращение полностью определяется указанием оси вращения и угла вращения вокруг этой оси. Без потери общности, эта ось может быть выбрана в качестве оси z декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения. В 3D-пространстве сферические координаты {θ, φ} можно рассматривать как параметрическое выражение 2-сферы. При фиксированном θ они описывают окружности на 2-сфере, перпендикулярные оси z, и эти окружности можно рассматривать как траектории точки на сфере. Точка {θ0, φ0} на сфере, вращающаяся вокруг оси z, будет следовать по траектории {θ0, φ0 + φ} при изменении угла φ. Траекторию можно рассматривать как вращение, параметризованное временем, где угол вращения является линейной функцией времени: , при этом ω является «угловой скоростью». Аналогично случаю в 3D-пространстве, каждое вращение в 4D-пространстве имеет по крайней мере две инвариантные плоскости, которые остаются неизменными при вращении и полностью ортогональны (то есть они пересекаются в точке). Вращение полностью определяется указанием этих плоскостей и углов вращения вокруг них. Без потери общности, эти плоскости можно выбрать в качестве плоскостей uz и xy декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения. В 4D-пространстве углы Хопфа {ξ1, η, ξ2} параметризуют 3-сферу. При фиксированном η они описывают тор, параметризованный ξ1 и ξ2, при этом особым случаем является тор Клиффорда в плоскостях xy и uz. Эти торы не являются обычными торами, встречающимися в трехмерном пространстве. Хотя они по-прежнему являются 2D-поверхностями, они вложены в 3-сферу. 3-сферу можно стереографически спроецировать на все евклидово 3D-пространство, и тогда эти торы будут выглядеть как обычные торы вращения. Можно заметить, что точка, заданная координатами {ξ10, η0, ξ20}, при вращении с инвариантными плоскостями uz и xy, останется на торе, определяемом η0. Траекторию точки можно записать как функцию времени: {ξ10 + ω1t, η0, ξ20 + ω2t} и стереографически спроецировать на соответствующий тор, как показано на рисунках ниже. На этих рисунках начальная точка принята равной , то есть на торе Клиффорда. На рис. 1 две простые траектории вращения показаны черным цветом, а левая и правая изоклинические траектории – красным и синим соответственно. На рис. 2 показано общее вращение, в котором , а на рис. 3 – общее вращение, в котором . Ниже визуализирована вращающаяся 5-ячейка, с четвертым измерением, сжатым и отображенным в виде цвета. Описанный выше тор Клиффорда изображен в прямоугольной (замыкающей) форме.

Every rotation in 3D space has a fixed axis unchanged by rotation. The rotation is completely specified by specifying the axis of rotation and the angle of rotation about that axis. Without loss of generality, this axis may be chosen as the z axis of a Cartesian coordinate system, allowing a simpler visualization of the rotation. In 3D space, the spherical coordinates {θ, φ} may be seen as a parametric expression of the 2 sphere. For fixed θ they describe circles on the 2 sphere which are perpendicular to the z axis and these circles may be viewed as trajectories of a point on the sphere. A point {θ0, φ0} on the sphere, under a rotation about the z axis, will follow a trajectory {θ0, φ0 + φ} as the angle φ varies. The trajectory may be viewed as a rotation parametric in time, where the angle of rotation is linear in time: , with ω being an "angular velocity". Analogous to the 3D case, every rotation in 4D space has at least two invariant axis planes which are left invariant by the rotation and are completely orthogonal (i. e. they intersect at a point). The rotation is completely specified by specifying the axis planes and the angles of rotation about them. Without loss of generality, these axis planes may be chosen to be the uz and xy planes of a Cartesian coordinate system, allowing a simpler visualization of the rotation. In 4D space, the Hopf angles {ξ1, η, ξ2} parameterize the 3 sphere. For fixed η they describe a torus parameterized by ξ1 and ξ2, with being the special case of the Clifford torus in the xy and uz planes. These tori are not the usual tori found in 3D space. While they are still 2D surfaces, they are embedded in the 3 sphere. The 3 sphere can be stereographically projected onto the whole Euclidean 3D space, and these tori are then seen as the usual tori of revolution. It can be seen that a point specified by {ξ10, η0, ξ20} undergoing a rotation with the uz and xy planes invariant will remain on the torus specified by η0. The trajectory of a point can be written as a function of time as {ξ10 + ω1t, η0, ξ20 + ω2t} and stereographically projected onto its associated torus, as in the figures below. In these figures, the initial point is taken to be , i. e. on the Clifford torus. In Fig. 1, two simple rotation trajectories are shown in black, while a left and a right isoclinic trajectory is shown in red and blue respectively. In Fig. 2, a general rotation in which and is shown, while in Fig. 3, a general rotation in which and is shown. Below, a spinning 5 cell is visualized with the fourth dimension squashed and displayed as colour. The Clifford torus described above is depicted in its rectangular (wrapping) form.