Кіріспе
Коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші - көбейту функциясы Гаустың көптік сандар үшін леммасы Алгебрада Карл Фридрих Гаустың есімімен аталған Гаустың леммасы - бүтін сандардағы көптік сандар туралы теорема, немесе, жалпы алғанда, бірегей факторлау доменінде (яғни, арифметиканың негізгі теоремасына ұқсас бірегей факторлау қасиеті бар сақина). Гаусс леммасы барлық факторлау теориясының және осындай көптіктердің ең үлкен ортақ бөлгіштерінің негізі болып табылады. Гаусс леммасы екі бастапқы көпмүшеннің көбейтіндісі бастапқы деп мәлімдейді. (Егер коэффициенттері 1 - ең үлкен ортақ бөлгіші болса, онда бүтін сан коэффициенттері бар көптік примитивті болып табылады.) Гаусс леммасының бір түйіні, кейде Гаусс леммасы деп те аталады, егер және тек егер ол рационалдық сандарға шамалы болса, онда бастапқы көпмүшелік бүтін сандарға шамалы емес. Жалпы алғанда, примитивті көптік бүтін сандар мен рационалды сандар бойынша бірдей толық факторлануға ие. Бірегей факторлау доменіндегі коэффициенттер жағдайында "рационалдық сандар" "R бөлшектерінің өрісі"мен ауыстырылуы тиіс. Бұл R өрісі, бүтін сандар сақинасы немесе бірегей факторлау домені болса, онда R үстіне әрбір полиномиялық сақина (бір немесе бірнеше белгісіз) бірегей факторлау домені болып табылады. Тағы бір салдары - бүтін сандар немесе рационалды коэффициенттермен полиномиалдарды факторлау мен ең үлкен ортақ бөлгіш есептеуді бүтін сандар мен бастапқы полиномиалдар бойынша ұқсас есептеулерге дейін азайтуға болады. Бұл жүйелі түрде (жарқын немесе жасырын түрде) барлық іске асырылған алгоритмдерде қолданылады (полиномның ең үлкен ортақ бөлгіші мен полиномиалдардың факторлануын қараңыз). Гаусс леммасы және оның толық факторлауды қамтымайтын барлық салдары кез келген GCD доменінде (ең үлкен ортақ бөлгіштер бар интегралды домен) дұрыс болып қалады. Әсіресе, GCD доменіндегі көптік сақина да GCD домені болып табылады. Егер коэффициенттер бірлік идеалды тудыратын полиномиалды примитивті деп атаса, Гаусс леммасы әрбір коммутативтік сақинада дұрыс болады. Алайда, примитивтің осы анықтамасын пайдаланғанда, кейбір сақ болу керек, өйткені негізгі идеалдық домен емес бірегей факторлау доменінде жоғарыда айтылған мағынада примитивті және осы жаңа мағынада примитивті емес полиномиалдар бар.
Gauss's lemma for polynomials
In algebra, Gauss's lemma, named after Carl Friedrich Gauss, is a theorem about polynomials over the integers, or, more generally, over a unique factorization domain (that is, a ring that has a unique factorization property similar to the fundamental theorem of arithmetic). Gauss's lemma underlies all the theory of factorization and greatest common divisors of such polynomials. Gauss's lemma asserts that the product of two primitive polynomials is primitive. (A polynomial with integer coefficients is primitive if it has 1 as a greatest common divisor of its coefficients.) A corollary of Gauss's lemma, sometimes also called Gauss's lemma, is that a primitive polynomial is irreducible over the integers if and only if it is irreducible over the rational numbers. More generally, a primitive polynomial has the same complete factorization over the integers and over the rational numbers. In the case of coefficients in a unique factorization domain R, "rational numbers" must be replaced by "field of fractions of R". This implies that, if R is either a field, the ring of integers, or a unique factorization domain, then every polynomial ring (in one or several indeterminates) over R is a unique factorization domain. Another consequence is that factorization and greatest common divisor computation of polynomials with integers or rational coefficients may be reduced to similar computations on integers and primitive polynomials. This is systematically used (explicitly or implicitly) in all implemented algorithms (see Polynomial greatest common divisor and Factorization of polynomials). Gauss's lemma, and all its consequences that do not involve the existence of a complete factorization remain true over any GCD domain (an integral domain over which greatest common divisors exist). In particular, a polynomial ring over a GCD domain is also a GCD domain. If one calls primitive a polynomial such that the coefficients generate the unit ideal, Gauss's lemma is true over every commutative ring. However, some care must be taken when using this definition of primitive, as, over a unique factorization domain that is not a principal ideal domain, there are polynomials that are primitive in the above sense and not primitive in this new sense.
Лемма бүтін сандар бойынша
If - бүтін сандық коэффициенттері бар көптік, егер барлық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болса, онда ол примитивті деп аталады; басқаша айтқанда, ешқандай алғашқы сан барлық коэффициенттерді бөле алмайды. Дәлел: Екі бастапқы полиномның f ((x) g ((x) көбейтіндісінің бүтін сандық коэффициенттері бар екені анық. Сондықтан, егер ол бастапқы болмаса, онда оның барлық коэффициенттерінің ортақ бөлгіші болып табылатын p бастапқы болуы керек. Бірақ p f ((x) немесе g ((x) теңдеулерінің барлық коэффициенттерін бөле алмайды (олар бастапқы болмас еді). Аркср f ((x)) p-ге бөлінбейтін бірінші термин болсын, ал bsxs g ((x)) p-ге бөлінбейтін бірінші термин болсын. Енді көбейтіндідегі xr + s терминін қарастырайық. Арбс термині p-ге бөлінбейді (себебі p - алғашқы), бірақ қалғандарының бәрі бар, сондықтан бүкіл сома p-ге бөлінбейді. Сондықтан көбейтінділердің ортақ бөлгіші болмайды, сондықтан олар примитивті. Дәлел төменде берілген, жалпы жағдай үшін. Z-дің (төп сан) қайталанбайтын элементі Z[X] -дегі тұрақты көпмүше ретінде қаралғанда әлі де қайталанбайтынын ескеріңіз; бұл мәлімдеменің "тұрақты емес" қажеттілігін түсіндіреді.
The term arbs is not divisible by p (because p is prime), yet all the remaining ones are, so the entire sum cannot be divisible by p. By assumption all coefficients in the product are divisible by p, leading to a contradiction. Therefore, the coefficients of the product can have no common divisor and are thus primitive. The proof is given below for the more general case. Note that an irreducible element of Z (a prime number) is still irreducible when viewed as constant polynomial in Z[X]; this explains the need for "non constant" in the statement.