Введение
Наибольший общий делитель коэффициентов - это умножающая функция Гаусса лемма для многочленов В алгебре, Гаусса лемма, названная в честь Карла Фридриха Гаусса, является теоремой о многочленов над целыми числами, или, более вообще, над уникальной областью факторизации (то есть кольцо, которое имеет уникальное свойство факторизации, похожее на фундаментальную теорему арифметики). Лемма Гаусса лежит в основе всей теории факторизации и величайших общих делителей таких многочленов. Лемма Гаусса утверждает, что произведение двух примитивных многочленов является примитивным. (Полином с коэффициентами целых чисел является примитивным, если у него 1 является величайшим общим делителем его коэффициентов.) Следующим следствием леммы Гаусса, иногда также называемой леммой Гаусса, является то, что примитивный полином невыводим над целыми числами, если и только если он невыводим над рациональными числами. Более общим образом, примитивный полином имеет одинаковую полную факторизацию над целыми числами и над рациональными числами. В случае коэффициентов в уникальной области факторизации R, "рациональные числа" должны быть заменены "полем дробей R". Это подразумевает, что если R - это либо поле, кольцо целых чисел, либо уникальная область факторизации, то каждое кольцо многочлена (в одном или нескольких неопределенных) над R является уникальной областью факторизации. Другим следствием является то, что вычисление множителя и наибольшего общего делителя для многочленов с целыми числами или рациональными коэффициентами может быть сведено к аналогичным вычислениям для целых чисел и примитивных многочленов. Это систематически используется (открыто или косвенно) во всех реализованных алгоритмах (см. Большой общий делитель полиномов и Факторизация полиномов). Лемма Гаусса и все ее последствия, которые не включают в себя существование полной факторизации, остаются верными в любом домене GCD (интегральном домене, над которым существуют наибольшие общие делители). В частности, кольцо многочлена над доменом GCD также является доменом GCD. Если называем примитивным многочлен, при котором коэффициенты генерируют единоличный идеал, то лемма Гаусса верна для каждого коммутативного кольца. Однако при использовании этого определения примитивного необходимо соблюдать определенную осторожность, поскольку в уникальной области факторизации, которая не является основной идеальной областью, есть многочлены, которые являются примитивными в вышеуказанном смысле, а не примитивными в этом новом смысле.
Gauss's lemma for polynomials
In algebra, Gauss's lemma, named after Carl Friedrich Gauss, is a theorem about polynomials over the integers, or, more generally, over a unique factorization domain (that is, a ring that has a unique factorization property similar to the fundamental theorem of arithmetic). Gauss's lemma underlies all the theory of factorization and greatest common divisors of such polynomials. Gauss's lemma asserts that the product of two primitive polynomials is primitive. (A polynomial with integer coefficients is primitive if it has 1 as a greatest common divisor of its coefficients.) A corollary of Gauss's lemma, sometimes also called Gauss's lemma, is that a primitive polynomial is irreducible over the integers if and only if it is irreducible over the rational numbers. More generally, a primitive polynomial has the same complete factorization over the integers and over the rational numbers. In the case of coefficients in a unique factorization domain R, "rational numbers" must be replaced by "field of fractions of R". This implies that, if R is either a field, the ring of integers, or a unique factorization domain, then every polynomial ring (in one or several indeterminates) over R is a unique factorization domain. Another consequence is that factorization and greatest common divisor computation of polynomials with integers or rational coefficients may be reduced to similar computations on integers and primitive polynomials. This is systematically used (explicitly or implicitly) in all implemented algorithms (see Polynomial greatest common divisor and Factorization of polynomials). Gauss's lemma, and all its consequences that do not involve the existence of a complete factorization remain true over any GCD domain (an integral domain over which greatest common divisors exist). In particular, a polynomial ring over a GCD domain is also a GCD domain. If one calls primitive a polynomial such that the coefficients generate the unit ideal, Gauss's lemma is true over every commutative ring. However, some care must be taken when using this definition of primitive, as, over a unique factorization domain that is not a principal ideal domain, there are polynomials that are primitive in the above sense and not primitive in this new sense.
Лемма над целыми числами
Если - это многочлен с коэффициентами целых чисел, то называется примитивным, если наибольший общий делитель всех коэффициентов равен 1; другими словами, никакое простое число не делит все коэффициенты. Доказательство: явно, что произведение f ((x) g ((x) двух примитивных многочленов имеет коэффициенты целых чисел. Поэтому, если он не примитивен, должно быть простое число p, которое является общим делителем всех его коэффициентов. Но p не может делить все коэффициенты f ((x) или g ((x)) (в противном случае они не были бы примитивными). Пусть arxr будет первым членом f ((x), не делимым на p, и пусть bsxs будет первым членом g ((x), не делимым на p. Теперь рассмотрим термин xr+s в произведении, коэффициент которого равен термину arbs, не делимому на p (поскольку p является простым), но все остальные являются, поэтому вся сумма не может быть делима на p. Предположим, что все коэффициенты в произведении делятся на p, что приводит к противоречию. Поэтому коэффициенты произведения не могут иметь общего делителя и, следовательно, являются примитивными. Доказательство приведено ниже для более общего случая. Обратите внимание, что необратимый элемент Z (простое число) все еще необратимый, когда рассматривается как постоянный полином в Z[X]; это объясняет необходимость "неконстантного" в утверждении.
The term arbs is not divisible by p (because p is prime), yet all the remaining ones are, so the entire sum cannot be divisible by p. By assumption all coefficients in the product are divisible by p, leading to a contradiction. Therefore, the coefficients of the product can have no common divisor and are thus primitive. The proof is given below for the more general case. Note that an irreducible element of Z (a prime number) is still irreducible when viewed as constant polynomial in Z[X]; this explains the need for "non constant" in the statement.