Кіріспе
Топологиялық векторлық кеңістік. Математикада LF кеңістік, сонымен қатар (LF) кеңістік деп жазылады, – Fréchet кеңістіктерінің саналатын индукциялық жүйесінің жергілікті дөңес индукциялық шегі болып табылатын топологиялық векторлық кеңістік (TVS) X. Бұл X – жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістіктер санатындағы тікелей жүйенің тікелей шегі және әрқайсысы Fréchet кеңістігі дегенді білдіреді. LF атауы Fréchet кеңістіктерінің шегін білдіреді. Егер байланыстыру карталарының әрқайсысы TVS-тің енгізілуі болса, онда LF кеңістігі қатаң LF кеңістігі деп аталады. Бұл Xn-де Xn+1 арқылы туындаған ішкі кеңістік топологиясы Xn-дегі түпкі топологиямен сәйкес екенін білдіреді. Кейбір авторлар (мысалы, Шафер) "LF кеңістігі" терминін "қатаң LF кеңістігі" деп анықтайды, сондықтан математикалық әдебиетті оқығанда LF кеңістігінің қалай анықталғанын әрқашан тексеру ұсынылады. Анықтама. Индуктивті/соңғы/тікелей шек топологиясы.
In mathematics, an LF space, also written (LF) space, is a topological vector space (TVS) X that is a locally convex inductive limit of a countable inductive system of Fréchet spaces. This means that X is a direct limit of a direct system in the category of locally convex topological vector spaces and each is a Fréchet space. The name LF stands for Limit of Fréchet spaces. If each of the bonding maps is an embedding of TVSs then the LF space is called a strict LF space. This means that the subspace topology induced on Xn by Xn+1 is identical to the original topology on Xn. Some authors (e. g. Schaefer) define the term "LF space" to mean "strict LF space," so when reading mathematical literature, it is recommended to always check how LF space is defined. Definition
Inductive/final/direct limit topology
Throughout, it is assumed that
is either the category of topological spaces or some subcategory of the category of topological vector spaces (TVSs);
If all objects in the category have an algebraic structure, then all morphisms are assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. I is a non empty directed set;
1=X• = ( Xi )i ∈ I is a family of objects in where is a topological space for every index i;
To avoid potential confusion, τXi should not be called Xi's "initial topology" since the term "initial topology" already has a well known definition. The topology τXi is called the original topology on Xi or Xi's given topology. X is a set (and if objects in also have algebraic structures, then X is automatically assumed to have has whatever algebraic structure is needed);
1=f• = ( fi )i ∈ I is a family of maps where for each index i, the map has prototype If all objects in the category have an algebraic structure, then these maps are also assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. If it exists, then the final topology on X in , also called the colimit or inductive topology in , and denoted by τf• or τf, is the finest topology on X such that
is an object in , and
for every index i, the map is a continuous morphism in
In the category of topological spaces, the final topology always exists and moreover, a subset U ⊆ X is open (resp. closed) in if and only if fi^( 1) (U) is open (resp. closed) in for every index i. However, the final topology may not exist in the category of Hausdorff topological spaces due to the requirement that belong to the original category (i. e. belong to the category of Hausdorff topological spaces).
Мәлімдеме бойынша, топологиялық кеңістіктер санаты немесе топологиялық векторлық кеңістіктер (TVS) санатының бір бөлігі болып есептеледі; егер санаттағы барлық объектілердің алгебралық құрылымы болса, онда барлық морфизмдер сол алгебралық құрылым үшін гомоморфизмдер деп есептеледі. I – бос емес бағытталған жиын; 1=X• = (Xi)i∈I – әр i индексі үшін топологиялық кеңістік болатын объектілердің отбасы; ықтимал шатасуды болдырмау үшін τXi-ді Xi-дің "түпкі топологиясы" деп атауға болмайды, себебі "түпкі топология" терминінің бұрыннан белгілі анықтамасы бар. τXi топологиясы Xi-дегі түпкі топология немесе Xi-нің берілген топологиясы деп аталады. X – жиын (егер оның нысандарында да алгебралық құрылым болса, онда X-те қажетті алгебралық құрылым бар деп автоматты түрде қабылданады); 1=f• = (fi)i∈I – карталар отбасы, онда әр i индексі үшін картаның прототипі бар. Егер санаттағы барлық нысандарда алгебралық құрылым болса, онда бұл карталар сол алгебралық құрылым үшін гомоморфизмдер деп есептеледі. Егер ол бар болса, онда X-тегі соңғы топология, сонымен қатар колимит немесе индуктивті топология деп аталады және τf• немесе τf арқылы белгіленеді, бұл X-тегі ең жіңішке топология, мұнда санаттағы объекті болып табылады және әрбір i индексі үшін карта үздіксіз морфизм болып табылады. Топологиялық кеңістіктер санатында соңғы топология әрқашан бар және сонымен қатар U ⊆ X жиыны ашық (немесе жабық) егер және тек егер fi⁻¹(U) жиыны барлық i индекстері үшін ашық (немесе жабық) болса. Алайда, түпкі топология Хаусдорф топологиялық кеңістіктері санатында болмауы мүмкін, себебі түпкі санатқа жатады (яғни Хаусдорф топологиялық кеңістіктері санатына жатады).
In mathematics, an LF space, also written (LF) space, is a topological vector space (TVS) X that is a locally convex inductive limit of a countable inductive system of Fréchet spaces. This means that X is a direct limit of a direct system in the category of locally convex topological vector spaces and each is a Fréchet space. The name LF stands for Limit of Fréchet spaces. If each of the bonding maps is an embedding of TVSs then the LF space is called a strict LF space. This means that the subspace topology induced on Xn by Xn+1 is identical to the original topology on Xn. Some authors (e. g. Schaefer) define the term "LF space" to mean "strict LF space," so when reading mathematical literature, it is recommended to always check how LF space is defined. Definition
Inductive/final/direct limit topology
Throughout, it is assumed that
is either the category of topological spaces or some subcategory of the category of topological vector spaces (TVSs);
If all objects in the category have an algebraic structure, then all morphisms are assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. I is a non empty directed set;
1=X• = ( Xi )i ∈ I is a family of objects in where is a topological space for every index i;
To avoid potential confusion, τXi should not be called Xi's "initial topology" since the term "initial topology" already has a well known definition. The topology τXi is called the original topology on Xi or Xi's given topology. X is a set (and if objects in also have algebraic structures, then X is automatically assumed to have has whatever algebraic structure is needed);
1=f• = ( fi )i ∈ I is a family of maps where for each index i, the map has prototype If all objects in the category have an algebraic structure, then these maps are also assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. If it exists, then the final topology on X in , also called the colimit or inductive topology in , and denoted by τf• or τf, is the finest topology on X such that
is an object in , and
for every index i, the map is a continuous morphism in
In the category of topological spaces, the final topology always exists and moreover, a subset U ⊆ X is open (resp. closed) in if and only if fi^( 1) (U) is open (resp. closed) in for every index i. However, the final topology may not exist in the category of Hausdorff topological spaces due to the requirement that belong to the original category (i. e. belong to the category of Hausdorff topological spaces).
Тікелей шектер проблемасы
Топологиялық кеңістіктер, топологиялық векторлық кеңістіктер (ТВШ) және Хаусдорфтың жергілікті дөңес ТВШ санаттарындағы тікелей шектер "жақсы мінез-құлық танытпайды". Мысалы, жергілікті дөңес ядролық Фреше кеңістіктерінің тізбегінің (яғни, табиғи сандармен индекстелген) тікелей шегі Хаусдорф бола алмауы мүмкін (мұндай жағдайда тікелей шек Хаусдорф ТВШ санатында жоқ). Осы себепті функционалдық талдауда әдетте тек белгілі бір "жақсы мінез-құлық" тікелей жүйелер зерттеледі. Мұндай жүйелерге LF кеңістіктері жатады. Дегенмен, Хаусдорф емес жергілікті дөңес индуктивтік шектер талдаудың маңызды мәселелерінде кездеседі.
Қатаң индукциялық шек
Егер байланысу карталарының әрқайсысы TVS-тің дұрыс векторлық кіші кеңістігіне енуі болса және егер жүйе табиғи ретімен бағытталса, онда алынған шек қатаң (саналатын) тікелей шек деп аталады. Мұндай жағдайда, әрбір Xi, Xi+1-нің векторлық кіші кеңістігі деп қарастыруға болады және Xi+1 арқылы Xi-де туындаған кіші кеңістік топологиясы, Xi-дегі бастапқы топологиямен сәйкес келеді. Жергілікті дөңес топологиялық векторлық кеңістіктер санатында, Фреше кеңістіктерінің қатаң индуктивтік шегіндегі топологияны, U абсолютті дөңес кіші жиыны 0-дің маңында жатса және тек қана U ∩ Xn, әр n үшін Xn-де 0-дің абсолютті дөңес маңында жатса деп анықтау арқылы сипаттауға болады.
Қасиеттері
Жергілікті конвексті ТҚЖ санатындағы туаған (сәйкесінше, баррельді, квази баррельді) кеңістіктер отбасының индуктивтік лимиті осы қасиетке ие.
LF-кеңдіктер
Әрбір LF кеңістігі өзінің кішігірім жиыны болып табылады. Толық жергілікті дөңес кеңістіктердің (мысалы, Фреше кеңістіктері) тізбегінің қатаң индуктивтік лимиті міндетті түрде толық болады. Атап айтқанда, әрбір LF кеңістігі толық. Әрбір LF кеңістігі баррельдік және борнологиялық, бұл толықтығымен бірге әрбір LF кеңістігі ультраборнологиялық екенін білдіреді. Саналатын бөлінетін кеңістіктер тізбегінің индуктивтік лимиті болып табылатын LF кеңістігі бөлінеді. LF кеңістіктері ерекшеленеді және олардың күшті дуалдары борнологиялық және баррельдік (бұл нәтиже Александр Гротендиктің еңбегі). Егер X, Фреше кеңістігі Xn-нің өсу тізбегінің қатаң индуктивтік лимиті болса, онда X-тің B ішкі жиыны X-те шектеулі, егер және тек егер қандай да бір n үшін B, Xn-нің шектеулі ішкі жиыны болса. LF кеңістігінен басқа TVS-ке сызықтық бейнелеу үздіксіз болады, егер және тек егер ол тізбектік үздіксіз болса. LF кеңістігі X-тен Fréchet кеңістігі Y-ге сызықтық бейнелеу үздіксіз болады, егер және тек егер оның графигі X × Y-де жабық болса. LF кеңістігінен басқа TVS-ке дейінгі әрбір шектеулі сызықтық оператор үздіксіз болады. Егер X тізбекпен анықталған LF кеңістігі болса, онда X-тің күшті дуал кеңістігі Fréchet кеңістігі болады, егер және тек егер барлық Xi нормаланатын болса. Осылайша, LF кеңістігінің күшті дуал кеңістігі Fréchet кеңістігі болады, егер және тек егер ол LB кеңістігі болса.
Тізгісіз, тығыз тігілген функциялар кеңістігі
LF кеңістігінің классикалық мысалы — , шексіз дифференциалданатын және ықшам тірегі бар функциялардың кеңістігі. LF кеңістігінің құрылымы, барлық i үшін және i-нің ішкі бөлігіне кіретін ықшам жиындар тізбегін қарастыру арқылы құрылады. Мұндай тізбек, мысалы, нөл нүктесінде ортасы орналасқан радиусы i болатын шарлар тізбегі болуы мүмкін. Ықшам тірегі бар және -ке кіретін шексіз дифференциалданатын функциялар кеңістігі табиғи Фреше кеңістігі құрылымына ие және жоғарыда сипатталғандай LF кеңістігі құрылымын мұралайды. LF кеңістігі топологиясы ықшам жиындардың нақты тізбегіне тәуелді емес. Осы LF кеңістігі құрылымымен, таралымдар теориясындағы маңызды рөл атқаратын сынақ функциялары кеңістігі ретінде танылады.
With this LF space structure, is known as the space of test functions, of fundamental importance in the theory of distributions.
Шекті өлшемді кеңістіктердің тікелей шегі
Кез келген оң бүтін сан n үшін 1=Xn := ^(n) деп есептейік, және m < n үшін, Xm-ді Xn-нің векторлық кіші кеңістігі ретінде каноникалық енгізу арқылы қарастырайық: Xm → Xn. X кеңістігіндегі кез келген TVS топологиясы Xm-нің X-ке енуін үздіксіз жасайды, сондықтан бұл кеңістік, Hamel өлшемі санаулы векторлық кеңістіктегі барлық TVS топологияларының арасында максималды болады. Бұл X-тегі барлық семинармдар жиымымен байланысты LC топологиясы. Сондай-ақ, X-тің TVS индуктивтік лимит топологиясы топологиялық индуктивтік лимитпен сәйкес келеді; яғни, TOP санатындағы және TVS санатындағы Xn шекті өлшемді кеңістіктердің тікелей лимиті бірдей. X-тің үздіксіз дуалдық кеңістігі X-тің алгебралық дуалдық кеңістігіне тең, яғни барлық нақты мәнді тізбектердің кеңістігі, және -тағы әлсіз топология күшті топологияға тең (яғни). Шындығында, бұл -тағы топологиялық дуалдық кеңістігі X-ке тең болатын бірегей LC топологиясы.
Denote the resulting LF space by X. Since any TVS topology on X makes continuous the inclusions of the Xm's into X, the latter space has the maximum among all TVS topologies on an vector space with countable Hamel dimension. It is a LC topology, associated with the family of all seminorms on X. Also, the TVS inductive limit topology of X coincides with the topological inductive limit; that is, the direct limit of the finite dimensional spaces Xn in the category TOP and in the category TVS coincide. The continuous dual space of X is equal to the algebraic dual space of X, that is the space of all real valued sequences and the weak topology on is equal to the strong topology on (i. e. ) In fact, it is the unique LC topology on whose topological dual space is X.