Введение
Топологическое векторное пространство
В математике, LF-пространство, также записываемое как (LF)-пространство, является топологическим векторным пространством (TVS) X, которое представляет собой локально выпуклый индуктивный предел счётной индуктивной системы пространств Фреше. Это означает, что X является прямым пределом прямой системы в категории локально выпуклых топологических векторных пространств, и каждое из них является пространством Фреше. Название LF расшифровывается как "Limit of Fréchet spaces" (предел пространств Фреше). Если каждое из связывающих отображений является вложением TVS, то LF-пространство называется строгим LF-пространством. Это означает, что подпространственная топология, индуцированная на Xn пространством Xn+1, совпадает с исходной топологией на Xn. Некоторые авторы (например, Шефер) определяют термин "LF-пространство" как "строгое LF-пространство", поэтому при чтении математической литературы рекомендуется всегда проверять, как определяется LF-пространство. Определение
In mathematics, an LF space, also written (LF) space, is a topological vector space (TVS) X that is a locally convex inductive limit of a countable inductive system of Fréchet spaces. This means that X is a direct limit of a direct system in the category of locally convex topological vector spaces and each is a Fréchet space. The name LF stands for Limit of Fréchet spaces. If each of the bonding maps is an embedding of TVSs then the LF space is called a strict LF space. This means that the subspace topology induced on Xn by Xn+1 is identical to the original topology on Xn. Some authors (e. g. Schaefer) define the term "LF space" to mean "strict LF space," so when reading mathematical literature, it is recommended to always check how LF space is defined. Definition
Inductive/final/direct limit topology
Throughout, it is assumed that
is either the category of topological spaces or some subcategory of the category of topological vector spaces (TVSs);
If all objects in the category have an algebraic structure, then all morphisms are assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. I is a non empty directed set;
1=X• = ( Xi )i ∈ I is a family of objects in where is a topological space for every index i;
To avoid potential confusion, τXi should not be called Xi's "initial topology" since the term "initial topology" already has a well known definition. The topology τXi is called the original topology on Xi or Xi's given topology. X is a set (and if objects in also have algebraic structures, then X is automatically assumed to have has whatever algebraic structure is needed);
1=f• = ( fi )i ∈ I is a family of maps where for each index i, the map has prototype If all objects in the category have an algebraic structure, then these maps are also assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. If it exists, then the final topology on X in , also called the colimit or inductive topology in , and denoted by τf• or τf, is the finest topology on X such that
is an object in , and
for every index i, the map is a continuous morphism in
In the category of topological spaces, the final topology always exists and moreover, a subset U ⊆ X is open (resp. closed) in if and only if fi^( 1) (U) is open (resp. closed) in for every index i. However, the final topology may not exist in the category of Hausdorff topological spaces due to the requirement that belong to the original category (i. e. belong to the category of Hausdorff topological spaces).
Индуктивная/конечная/прямая предельная топология
In mathematics, an LF space, also written (LF) space, is a topological vector space (TVS) X that is a locally convex inductive limit of a countable inductive system of Fréchet spaces. This means that X is a direct limit of a direct system in the category of locally convex topological vector spaces and each is a Fréchet space. The name LF stands for Limit of Fréchet spaces. If each of the bonding maps is an embedding of TVSs then the LF space is called a strict LF space. This means that the subspace topology induced on Xn by Xn+1 is identical to the original topology on Xn. Some authors (e. g. Schaefer) define the term "LF space" to mean "strict LF space," so when reading mathematical literature, it is recommended to always check how LF space is defined. Definition
Inductive/final/direct limit topology
Throughout, it is assumed that
is either the category of topological spaces or some subcategory of the category of topological vector spaces (TVSs);
If all objects in the category have an algebraic structure, then all morphisms are assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. I is a non empty directed set;
1=X• = ( Xi )i ∈ I is a family of objects in where is a topological space for every index i;
To avoid potential confusion, τXi should not be called Xi's "initial topology" since the term "initial topology" already has a well known definition. The topology τXi is called the original topology on Xi or Xi's given topology. X is a set (and if objects in also have algebraic structures, then X is automatically assumed to have has whatever algebraic structure is needed);
1=f• = ( fi )i ∈ I is a family of maps where for each index i, the map has prototype If all objects in the category have an algebraic structure, then these maps are also assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. If it exists, then the final topology on X in , also called the colimit or inductive topology in , and denoted by τf• or τf, is the finest topology on X such that
is an object in , and
for every index i, the map is a continuous morphism in
In the category of topological spaces, the final topology always exists and moreover, a subset U ⊆ X is open (resp. closed) in if and only if fi^( 1) (U) is open (resp. closed) in for every index i. However, the final topology may not exist in the category of Hausdorff topological spaces due to the requirement that belong to the original category (i. e. belong to the category of Hausdorff topological spaces).
На протяжении всего текста предполагается, что
является либо категорией топологических пространств, либо некоторой подкатегорией категории топологических векторных пространств (TVS);
Если все объекты в категории имеют алгебраическую структуру, то все морфизмы считаются гомоморфизмами для этой алгебраической структуры. I – непустое направленное множество;
1=X• = (Xi)i∈I – это семейство объектов в , где для каждого индекса i является топологическим пространством; во избежание возможной путаницы, τXi не следует называть "первоначальной топологией" Xi, поскольку термин "первоначальная топология" уже имеет устоявшееся определение. Топология τXi называется исходной топологией на Xi или заданной топологией Xi. X – это множество (и если объекты в также имеют алгебраические структуры, то X автоматически предполагается обладающим необходимой алгебраической структурой);
1=f• = (fi)i∈I – это семейство отображений, где для каждого индекса i отображение имеет прототип . Если все объекты в категории имеют алгебраическую структуру, то эти отображения также считаются гомоморфизмами для этой алгебраической структуры. Если она существует, то конечная топология на X в , также называемая колимитом или индуктивной топологией в , и обозначаемая τf• или τf, является самой тонкой топологией на X, такой, что
является объектом в , и
для каждого индекса i отображение является непрерывным морфизмом в .
В категории топологических пространств конечная топология всегда существует, и, более того, подмножество U ⊆ X открыто (соответственно, замкнуто) в тогда и только тогда, когда fi⁻¹(U) открыто (соответственно, замкнуто) в для каждого индекса i. Однако конечная топология может не существовать в категории пространств Хаусдорфа из-за требования, чтобы принадлежало исходной категории (т.е. принадлежало категории пространств Хаусдорфа).
In mathematics, an LF space, also written (LF) space, is a topological vector space (TVS) X that is a locally convex inductive limit of a countable inductive system of Fréchet spaces. This means that X is a direct limit of a direct system in the category of locally convex topological vector spaces and each is a Fréchet space. The name LF stands for Limit of Fréchet spaces. If each of the bonding maps is an embedding of TVSs then the LF space is called a strict LF space. This means that the subspace topology induced on Xn by Xn+1 is identical to the original topology on Xn. Some authors (e. g. Schaefer) define the term "LF space" to mean "strict LF space," so when reading mathematical literature, it is recommended to always check how LF space is defined. Definition
Inductive/final/direct limit topology
Throughout, it is assumed that
is either the category of topological spaces or some subcategory of the category of topological vector spaces (TVSs);
If all objects in the category have an algebraic structure, then all morphisms are assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. I is a non empty directed set;
1=X• = ( Xi )i ∈ I is a family of objects in where is a topological space for every index i;
To avoid potential confusion, τXi should not be called Xi's "initial topology" since the term "initial topology" already has a well known definition. The topology τXi is called the original topology on Xi or Xi's given topology. X is a set (and if objects in also have algebraic structures, then X is automatically assumed to have has whatever algebraic structure is needed);
1=f• = ( fi )i ∈ I is a family of maps where for each index i, the map has prototype If all objects in the category have an algebraic structure, then these maps are also assumed to be homomorphisms for that algebraic structure. If it exists, then the final topology on X in , also called the colimit or inductive topology in , and denoted by τf• or τf, is the finest topology on X such that
is an object in , and
for every index i, the map is a continuous morphism in
In the category of topological spaces, the final topology always exists and moreover, a subset U ⊆ X is open (resp. closed) in if and only if fi^( 1) (U) is open (resp. closed) in for every index i. However, the final topology may not exist in the category of Hausdorff topological spaces due to the requirement that belong to the original category (i. e. belong to the category of Hausdorff topological spaces).
Проблема с прямыми границами
Прямые пределы в категориях топологических пространств, топологических векторных пространств (ТВС) и локально выпуклых ТВС Хаусдорфа "плохо себя ведут". Например, прямой предел последовательности (то есть индексированной натуральными числами) локально выпуклых ядерных пространств Фреше может не быть хаусдорфовым (в этом случае прямой предел не существует в категории ТВС Хаусдорфа). По этой причине в функциональном анализе обычно изучаются лишь некоторые "хорошо себя ведущие" прямые системы. К таким системам относятся пространства LF. Однако нехаусдорфовы локально выпуклые индуктивные пределы возникают в естественных вопросах анализа.
Строгое индуктивное предел
Если каждая из связующих карт является вложением ТВС в собственные векторные подпространства и если система упорядочена естественным образом, то полученный предел называется строгим (счетным) прямым пределом. В такой ситуации можно без потери общности предположить, что каждый Xi является векторным подпространством Xi+1 и что индуцированная на Xi подпространственная топология от Xi+1 совпадает с исходной топологией на Xi. В категории локально выпуклых топологических векторных пространств топология на строгом индуктивном пределе пространств Фреше X может быть описана следующим образом: абсолютно выпуклое множество U является окрестностью 0 тогда и только тогда, когда U ∩ Xn является абсолютно выпуклой окрестностью 0 в Xn для каждого n.
Свойства
Индуктивный предел в категории локально выпуклых ТВС семейства борнологических (соответственно, бочкообразных, квазибочкообразных) пространств обладает тем же свойством.
Пространства LF
Каждое пространство LF является скудным подмножеством самого себя. Строгий индуктивный предел последовательности полных локально выпуклых пространств (таких как пространства Фреше) обязательно полон. В частности, каждое пространство LF является полным. Каждое пространство LF является бочковым и борнологическим, что вместе с полнотой влечет за собой, что каждое пространство LF является ультраборнологическим. Пространство LF, являющееся индуктивным пределом счетной последовательности сепарабельных пространств, является сепарабельным. Пространства LF выделяются, а их сильные дуальные пространства являются борнологическими и бочковыми (результат, полученный Александром Гротендиком). Если X является строгим индуктивным пределом возрастающей последовательности пространств Фреше Xn, то подмножество B пространства X ограничено в X тогда и только тогда, когда существует такое n, что B является ограниченным подмножеством Xn. Линейное отображение из пространства LF в другое TVS непрерывно тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно. Линейное отображение из пространства LF X в пространство Фреше Y непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут в X × Y. Любой ограниченный линейный оператор из пространства LF в другое TVS является непрерывным. Если X — пространство LF, определенное последовательностью, то сильное двойственное пространство X является пространством Фреше тогда и только тогда, когда все Xi являются нормированными. Следовательно, сильное двойственное пространство пространства LF является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно является пространством LB.
Пространство гладких компактно поддерживаемых функций
Типичным примером LF-пространства является, например, пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на с компактным носителем. LF-пространственная структура получается путем рассмотрения последовательности компактных множеств, таких что и для всех i, является подмножеством внутренней области . Такая последовательность может состоять из шаров радиуса i с центром в начале координат. Пространство бесконечно дифференцируемых функций на с компактным носителем, содержащимся в , имеет естественную структуру пространства Фреше и наследует LF-пространственную структуру, как описано выше. LF-пространственная топология не зависит от конкретной последовательности компактных множеств. При такой LF-пространственной структуре пространство известно как пространство тестовых функций и имеет фундаментальное значение в теории обобщенных функций.
With this LF space structure, is known as the space of test functions, of fundamental importance in the theory of distributions.
Прямая граница пространств конечных измерений
Предположим, что для каждого положительного целого числа n, 1=Xn := ^(n) и для m < n, рассматриваем Xm как векторное подпространство Xn посредством канонического вложения Xm → Xn, определенного как [здесь должно быть описание вложения, отсутствующее в оригинале]. Обозначим полученное LF-пространство через X. Поскольку любая TVS-топология на X делает непрерывными включения Xm в X, это пространство обладает максимальной TVS-топологией среди всех TVS-топологий на векторном пространстве с счетным измерением Гамеля. Это LC-топология, связанная с семейством всех семинорм на X. Кроме того, индуктивная TVS-лимитная топология на X совпадает с топологической индуктивной лимитной топологией; то есть, прямое предельное переход от конечномерных пространств Xn в категории TOP и в категории TVS совпадают. Непрерывное двойственное пространство X равно алгебраическому двойственному пространству X, то есть пространству всех последовательностей, принимающих действительные значения, а слабая топология на X равна сильной топологии на X (т.е. ). Фактически, это единственная LC-топология на X, топологическое двойственное пространство которой равно X.
Denote the resulting LF space by X. Since any TVS topology on X makes continuous the inclusions of the Xm's into X, the latter space has the maximum among all TVS topologies on an vector space with countable Hamel dimension. It is a LC topology, associated with the family of all seminorms on X. Also, the TVS inductive limit topology of X coincides with the topological inductive limit; that is, the direct limit of the finite dimensional spaces Xn in the category TOP and in the category TVS coincide. The continuous dual space of X is equal to the algebraic dual space of X, that is the space of all real valued sequences and the weak topology on is equal to the strong topology on (i. e. ) In fact, it is the unique LC topology on whose topological dual space is X.